研究例題 51 媒介変数表示された曲線と面積
媒介変数によって表された曲線 x=-212+3t, y=sinzt (0≦t≦1)と
x軸で囲まれた部分の面積Sを求めよ。
dx dy
考え方
の符号を調べることにより, 曲線の概形を調べる。
dt' dt
dy
-4t+3, =πCOSπt より,
dx
dt
t
0
dt
dx
dt
x
dy
dt
y
0
0
+
→→
+
←
|1|2| +
1
0
1
(x, y) (0, 0) 7 (1, 1)
+
↑
-
->
↓
98
曲線の概形は右の図のようになる。
3-409-8-22
I
-
←
-
I
->
1
YA
√2
2
t=
34
12
0
yi
-Y2
√2
,
(1, 0)
0t=0
19
198
x
osts 2 のとき y=y, osts のとき y=y とすると,
3
≦t≦1
4
y1
dx=(-4t+3)dt
9
S=
S-S*vidx-Syzdx
← 0x
t
0
9|8|3|4
→→
=(sinzt)(-4t+3)dt-fi (sinzt)(-4t+3)dt
=(sinzt)(-4t+3)dt+S』(sinzt)(-4t+3)dt
-S(sinzt)(-4t+3)dt=-4Ştsinxtdt+3S,sinntdt
Y2
x 1 ->
t 1 →→
ここで, Sitsinntate=S(12coszt) dt-1-1/2 cos to +1/2 S.cos rtdt
20
π
1
+
sinлt
π
10 π
また,
*. Ssinat dt-cost] =
2
COS
0
π
よって, S=-4.
-4.1+3 2 2
π
πC π
π
πt
π
1983-4
008