582
例題
基本の
85 共通接線(2)
・2曲線が接する
000
のとき、曲線 C1 : y=2sinx と曲線 C2 : y=k-cos2x が共有点P で共
の接線をもつ。定数kの値と点Pの座標を求めよ。
2曲線y=f(x) y=g(x)が共有点で共通の接線をもつ (2
曲線がその共有点で接するともいう)ための条件は,共有点
のx座標をtとすると, 次の [1], [2] を満たすことである。
ソーf(x))
共通接線
・基本 84
y=g(x)
接する
147
2))
[1] f(t)=g(t)
******
座標が一致する
[2] f'(t)=g'(t)
し傾き一致するが
微分係数が一致する
直
y=2sinx から
y=k-cos2x から
y' =2 cos.x
y'=2sin2x
解答
共有点Pのx座標をt (0<t<π) とすると,点Pで共通の接
線をもつための条件は
2sint=k-cos 2t
かつ&cost=2sin 2t
cost=2sintcost
cost(2sint-1)=0
(2)
まず、 導関数を求める。
<y=-(-sin2x)・2
y座標が一致。
微分係数が一致。
2倍角の公式を利用。
4
章
kの値を求める。
接線と法線
左下は k=1, 右下は
k= のときのグラフ。
¥ 522
線
②から
ゆえに
を
1
て
よって
cost=0, sint=
2
二注
0<t<πであるから
cost=0より =
sint=
11/23より
π
5
t=
・π
6
6
T
このとき、①から
2=k+1
よって k=1
t=1のとき,① から
t=1のとき, ① から 1=k-
ゆえに点Pの座標は
k=1t=2のとき
P(1, 2)
3
k=
2
=
○)のとき
6
2
0
C2
1=k-1212
12 12
よってk=
よってk=
3|23|2
P
C₁
A
P. 1). P(x. 1)
12
π x
PCL
C
1120.
1
IC
6
-5-6
+12
π
π x
・き 接点
