数と方程式
C
高次方程式と虚数解
応用
例題
3 もつとき,定数 α, bの値を求めよ。 また、他の解を求めよ。
a, b は実数とする。 3次方程式 x+ax+b=0 が1+2iを解に
01
10
考え方 方程式 P(x) = 0 がαを解にもつ⇔P(α)=0
10
解答 1+2iが解であるから (1+2i)+α(1+2+6=0&
整理して
( a + b-11)+ (2a-2)i=0
α 6は実数であるから, α+6-11, 2α-2は実数である。
よって
a+6-11=0,2a-2=0
15
これを解くと
a=1,b=10
このとき,方程式は
x'+x+10=0
A+Bi=0
⇔A = 0, B=0
21
左辺を因数分解すると
したがって
(x+2)(x²-2x+5)= 0
x=-2, 1±2i
8
答 a=1,6=10, 他の解は-2, 1-2i
20
練習
a b は実数とする。 3次方程式 x3+x2+ax+b= 0 が 1 + iを解に
28
もつとき,定数 α, bの値を求めよ。 また, 他の解を求めよ。
岡田
?つの解1+21-2żは互いに共役な複素数で