例題
17
nが4以上の自然数のとき,次の不等式を証明せよ。
2">3n) 畑 での
考え方
数学的帰納法の(1)として,n=4 のとき成り立つことを証明すれば
5
よい。
与えられた不等式を①とおく。
条 矢
証明
(I) n=4 のとき,
(①の左辺)=2*=16
(①の右辺)=3-4=12
よって,①は成り立つ。
最 あること
O(I)k24 として, n==k のときの①, すなわち, (1)
2*>3k
…2
が成り立つと仮定する。
もさ ー (日)
2を用いて, n=k+1 のときのS-
2*+1>3(R+1)を示す。
のの両辺の差を考えると, 0T
2々+1_3(k+1)=2·2*-3k-3 N
仮定2を利用する。
へ
>2·3k-3k-3
へ
=3(k-1)>0 AS= k24 より, k-1>0
よって, 2*+1>3(k+1) が成り立つ。
すなわち,①は n=k+1 のときも成り立つ。
(1), (1Ⅱ)より, ①は4以上の自然数nについて成り立つ。
