ページ3:

(2)部分積分: (多項式) × (対数関数) 型
(多項式)を微分形に
√x(logx)² dx = √²±²x²)'(logx)² dx
=
=
2
2
=(x²). (log.x)²x² -2log.x-1dx
1
1
r’(logx) – [xlogxdx
↓ 部分積分
=x(logx) - [ xylogxdx
|-
x
2
1 x² (logx)²
x² logx-
r² dx
2
x
1
1
=
x²
2
1
=
2
1
1
xỉ (log.x) - xlogx + = f xác
2
2
-
-
x² (log.x)² - 1/2x² logx + 1/2 1/2x² + C
1
22
1 2
x²(log.x)² = x²log.x += x² + C
--
= - 1
==
2
2
4

ページ4:

(3) それぞれのグラフの概形をお絵かきしてみます。。。
Oy=f(x) = x(logx)2のグラフをお絵かきすると
・極値
f'(x) = (logx)2 + 2logx = 0よりx = 1,
・増減表(x>0)
X
0
1
2
:
1
2
f'(x)
f(x)
・漸近線
+
0
41%
I
0
0
2
limf(x) = 0, limf(x) = 8
0+←x
4+ y
→8
e2
1
?|
+
X

ページ5:

e² (log x)²
2
○
y= g(x)=
のグラフをお絵かきすると
x
・極値
g'(x) =
x
x²
2
2e² logx
x-e² (logx)².1
e² log x(2-log x)
・増減表(x > 0)
x²
=0 より x=1, e2
x
0
1
e²
0
+
0
g'(x)
g(x)
・漸近線
1
0
4
lim f(x) = e² lim. (logx)2:
0+<x
0+<x
1
x
=8
lim f(x)=e² lim. (logx)² = 0
x→X
X 004x
y
||
x
4
うまくお絵かきてきない。
e²

ページ6:

Oy=f(x) = x(logx)2とy=g(x)=
e² (logx)²
x
※ x ≠ 0
の交点の
x座標を求める。
e2(logx)^
x(logx)2=
∴ (x²-e2)(logx)2=0
X
∴ (x+e)(x-e) (logx)2 = 0
|x = e, 1(∵真数は正)
○ 1≦x≦eの範囲で2つのグラフの上下関係を確認すると
x(logx)2 -
e² (logx)²
=
(x² - e²)..
(log.x)
≤0
X
x
負正
以上より,2つのグラフで囲まれる図形の面積は
∫{g(x)-f(x)}dx
e² (logx)²
= f² e² (
X
-dx-x(logx)dx
置換積分
①の定積分を求めます。
logx = t とおくと
よって
£>
x
e² (log x)²
x
-dx = dt, 0≦t≦1
-dx = e² √' t² dt = e²
②は(2)の不定積分を利用すると
1
3
3
fx00gx)dx=1203-126+16-10-0+1)
e
•e
x(log
1
2
e
e
=-e
4
したがって, 求める面積は
4
マジもうムリ
1
=
+
12
4