解答⑶の右側ここで〜 なんでPQは普通に絶対値つけてるだけやのに、PSは絶対値つけて二乗しなダメなんですか

解答編 49 内積と空間図形 タイムリミット15分 よってOP=OF 1辺の長さが1の正八面体 OABCDE を考える。OA=a, = 1/170A+170B+1700 また 91. 《内積と空間図形 PS-26+ 解答 (ア) ② (イ) ⑤ =(a+4+²-4a-b-4b-c+2a.c) (エ) (オ) 0 (カ) 2 (キ) 3 (ク) 0 (コ) 1/12 (12+4.12+13-4.1/2-4.1/12+2.0) (サ) 9 ◇◆思考の流れ◆◇ 合成や分割を利用してa で表したうえで、 内積や面積を計算する。 よってPS- (1) OD=OA+AD O =OA+BC =OA-OB+OC =a-b+c (0) A. D Th OE = OA+AE B 解答 (アイ) (ウ) (エ) 2 (オ) 1 2 =OA+OC (カ) 1 =a+c (5) (キ) 3 (クケ) (コ) 1 (サ) (シ) 2 (ス) 0 (2)△OAB △OBCは1辺の長さが1の正三角形であ (セソ) 1 1 (テ) ⑦ (ツ) るから a.b=bc =1・1・cos60°= 1 2 また, 四角形OAECは正方形であるから ∠AOC=90° よって a-c=0 (3) PQ=OQ-OP (ト) ④ ◇◆思考の流れ◆◇ OB + OC + OE 3 OA+OB 3 b+c+(a+c) + 2- PS=OS-OP=OA+OD OA+OB 3 3 a+a-b+c) a+b 3 3 2-28+2 (3) cosa と cos β の値を求めると和が0であるこ とがわかる。 Cosa >0, cosβ < 0 から 0<<<< このことから, α+βの値を求める。 この値から平面 OPR と 平面 O'AD のなす角が わかり、 その結果をもとに, 2つの立体を合わせ た立体の面の数を考える。 4S P: D B Q E (1) (i) MR=MO+OR =-OP+OR ==+7 0 M\ R Q a MQ=MO+OQ = -1/-OP+OQ P OD = OA + AB =0A + BC □=+=+品 O PQ = OQ - JP = 2+212 3 2+2 p.146 2 PS = 03-03 = 22-2-2-2-2-2+ 3 2. (12-132+2) = -1/2 = 0 -²+²=0 四角形 PQRSは長方形であるから,その面積は |PQ|.|PS|=/139 √2 2√2 92. 《空間図形とベクトル》 (3) OAB △BCE, CDE, AOAD の重心をそれぞれP,Q,R,Sとすると, C.PQ-PS=クである。 PQ= コ また,四角形 PQRS は長方形であるから,その面積は である。 OB=6,DC=c とする。 OD= ア (1) OE- イである。 P の解答群 (同じものを繰り返し選んでもよい。 a+b ⑤ a+c a+b+c-a+b+c à-b+c a+b-c 5+c 0 -α+6 Q (2) a·b=b.c= ウ a・c=オ である。 3 2周目やる =2+2 3 =(a+c-26c+c) また, OPQ, △OQR, ORPは正三角形であ から どれもである。 がそれぞれなす角は -20-2-1/12+12-0 よってbi=grp=2.2-cos/3 = 2 = 3回目 アイ・オ ア イ ウェー オ カ ク ケッコ 5 0 サ 22 2 D 1 1 2 2 3 4 1

(2)を教えてください。お願いします。

* 402 1辺の長さが7の正八面体 ABCDEF について,次のものを求めよ。 (1) 正八面体の体積V X(2) 正八面体に内接する球の半径r (2) B A F D

２番の青線のとこでこのように置き換えをするのはこの参考書だとこの問題だけでした、この置き換えは主に外心の時にしか使われないのでしょうか、よろしくお願いします🙇‍♂️

文系・理系ごとの進路 例題 346 外心の位置ベクトル 3 ベクトルと図形 *** 609 9 平面上のベクトル 考え方 解 DA △ABCにおいて, AB = 8,BC=7,CA=5 とする. 辺ABの中点を M,辺 AC の中点をN, △ABCの外心をPとするとき,AB=1, として,次の問いに答えよ. (1)積を求めよ. (2)MPLAB, NP⊥AC を利用して, APをこを用いて表せ . (1) BC=AC-AB=c-6 であることを利用する. (2) AP=s+tc とおいて MP・AB=0, NPAC=0 を計算し, s, tを求める. (1) |BC|=|-|²=|c|²−26•c+|b|² 72=52-2・C+82 より, 6.c=20 (2) Ap=sh+tc とおくと, Amods-5 C MP=AP-AM-s6+1c-126 = (s-1/2)+ NP=AP¬AÑ=sb+tc¬½=sb+ (t−1) c AMP⊥AB より, JA NA HA MAB= 2 B MP･AB=0 だから80015 M³· AB={( s − ½)6 + tc}·6=(s) 16+tb-c S 1 A =64s-1/2)+20t=0より16s+5t=8 ……D NP⊥AC より, NPAC = 0 だから, 8. M. N5 IP 7 C 点Pは外心だから PM は AB の垂直 二等分線となる. つまり, MP⊥AB より, MP･AB=0 NPAC={st+(t-12) c}=sbc+(t-1/2)PLA =20s+25t- =0より, 8s+10t=5 ･･････ ② 1-1/2)=0 ①,②より,s=11. t=1/26 だからA=2+2 AP 解) AP=s+t とおく. 24' 15 A 24 15 内積の性質より,AP･AM=4°=16,APAN=(2-25 ← 内積の図形的意味 (p.576, p.612 したがって,AP・AM= (s6+tc). 12/26/1/2s1+1/216.2 Column 参照) = =32s+10t=16 ......3555 AP•AN=(s6+tc)2c=12s6-c+1/2HCP =10s+ 25-25 A 4 11 2 ③ ④ より,s= t= だから, 24' 15 2 AP=1/16- 15 TAG

例えば㈠だったらABのx座標の変化量をみてDCのx座標を決めるというやり方ではだめですか？説明も含めて答える問題では対角線を使ったほうが良いのでしょうか。

基本 例 76 平行四辺形の頂点の座標 00000 3点A(1, 2), B5, 4), C(3, 6) を頂点とする平行四辺形の残りの頂点Dの座 標を求めよ。 p.119 基本事項 4 指針 平行四辺形の対角線は,互いに他を2等分するから、次の性質を利用して点Dの座標 を求める。 平行四辺形は2本の対角線の中点が一致する。 その際, 平行四辺形ABCD というように, 頂点の順序が示されていないから, 平行四 辺形ABCD, ABDC, ADBC の3つの場合を考える必要があることに注意。 頂点Dの座標を (x, y) とする。 [1] YA [1] ABCD 平行四辺形の頂点の順序は,次の3つの場合がある。 [2] ABDC [3] ADBC C(3,6) [1] の場合, 対角線は AC, BD であり, それぞれの中点 をM, N とすると M(1+3, 2+6), N(5+x, y) 2 2 M,Nの座標が一致するから 5+x 4 D B (5. A(1,2) 4+y O [2]y C(3,6) 8_4+y 2 2 2 2 これを解いて x=-1,y=4 [2] の場合, 対角線は AD, BC であり、 同様にして 1+x 8 2+y_10 2 2' 2 2 これを解いて x=7, y=8 [3] の場合, 対角線は AB, CD であり、 同様にして 6 3+x 6 == 2 2'2 6+y 2 これを解いて x=3, y=0 B( A(1,2) [3] y C(3, 以上から、点Dの座標は (-1, 4), (7, 8), (3, 0) D(-1, 4), D'(7, 8), D" (3, 0) として,図をかくと,右の ようになる。 A 右の図で,線分 AD', BD, CD” の交点は△DD'D” の重心 であり, △ABCの重心でもある。 D IA (1,2) 0 D A 0 D" 3点A(3,2), B(4, 1), C(1, 5) を頂点とする平行四辺形の残りの頂点 標を求めよ。

一枚目が問題で2枚目が答えなんですが、なんで3/2sbになるのか分かりません。あとその後の式AEの分数の計算のところがわからないです。なんでこうなるんですか？よろしくお願いします🙇

*59 △ABCにおいて, 辺AB を3:1 に外分する 点をD, 辺BC を1:2に内分する点をEとし, 直線 AE と直線 CD の交点をFとする。 8 ARE (0) A B1E AB=6, AC = c とするとき,AFを6,こを 用いて表せ。 対して -2. C F D

解答２丸をつけた部分がわかりません。なぜBC²が９b²+4c²になるのですか？

6), C(-2, 7)を頂点とする△ABCは直角二ち 00 2), C(a, b)について, △ABC が正三角形であ 喫煙では、辺の長さ(または定長さの2種)を れか ② 三平方の定理を満たすかどう れぞれ求め, 三平方の定理を満たすことを示す。 るための条件は A”として扱い, α, AB=BC=CA bの連立方程式を導く。 平方の定理を (辺の長さ)で判断 42A(x, C(-2,7) 5 5√√2 B (5,6) B(22)に対 AB2=x2 解答 基本 74 座標を利用した証明 (1) (1) △ABCの重心をGとする。 このとき, 等式 ①①①①① AB'+BC2+CA2=3(GA2+GB2+GC") が成り立つことを証明せよ。 (2)△ABCにおいて,辺BC を1:2に内分する点をDとする。 このとき,等 式2AB2+AC2=3AD+6BD2 が成り立つことを証明せよ。 指針 基本73 基本87\ 座標を利用すると、 図形の性質が簡単に証明できる場合がある。 そのとき 座標軸をどこにとるか, 与えられた図形を座標を用いてどう表すか がポイントになる。 そこで後の計算がらくになるようにするため, 問題の点がなるべ <多く座標軸上にくるように0が多くなるようにとる。 ...... ★ (1)はA(3a,3b), B(-c, 0),C(c, 0) とすると,重心の性質から G(a, b) (2)はA(a,b), B(-c, 0),C(2c, 0) CHART 座標の工夫 1 0 を多く 2 対称に点をとる (1) 直線 BC をx軸に, 辺BC の垂直二等分線をy軸にと ると, 線分 BC の中点は原点0になる。 A (3a, 36), B(-c, 0),C(c, 0) とすると, Gは重心であるから G(a, b) と表される。 よって AB2+BC+CA2 <指針」 _...... ★ の方針。 123 0 が多くなるように座標 軸を設定するだけでなく, A(3a, 36) とすること で、重心Gの座標を分 数を使わずに表せる。 3章 1 直線上の点、平面上の点 トリ,2) (16.7) 125 基本 (2)(4.0)(0.2) (a,b) A+ C = 113 BC (0-4)²+(6-0) (a alz_8 A(1,3) 92-80116 単に「直角二 =(-c-3a)+962+4c2+ (3a-c)'+962 (1) A(3a, 3b) 条件は B2=BC2=CA2 =(4-α)2+(0-b)2 .... ① 形」だけでは不 どの角が直 はどの辺が ...... 明記する。 =3(6α²+662+2c2 ...... ① GA2+ GB2+ GC2 =(3a-a)+(36-b)'+(-c-a)'+b2+(c-a)2+b2 =6a²+6b2+2c2 (G (a,b) ② B -8α+46 ①② から AB2+BC2+CA2=3(GA'+GB2+GC2) (-c,0) O (c, 0) x 4-a)²+(0-6)² (2) (2) B(0,2) (2) 直線 BC をx軸に, 点Dを通り直線 BC に垂直な直 線をy軸にとると, 点Dは原点になり, A (a, b), -3)2=20 B(-c, 0), C(2c, 0) と表すことができる。

T1求めるまでは理解できたんですけどその後の中点連結定理がなんでそこででてくるかよくわからないしわかりやすく解き方教えて欲しいです！😭

66 第2章 数列の極限 中点連結定理より,面積 T, の正三角形と面積 Tn+1 の正三角形の1辺の長さの比は 2:1であ る. したがって A 0001 601 (1) Tn: Th+1=22:12 面積比は =4:1 【相似比の2乗 Tn+1 よって, Tn+1= T...-T. 4 (2) Tn 8 したがって, T は初項- /3 公比 n=1 4 無限等比級数である. -1< (公比) <1より, こ の無限等比級数は収束し、 その和は √3 4 √3 √3 = 4-1 3 a(1-1)

以下の問題について教えて欲しいです。 お願いします。 手書きだと嬉しいです。

... 6 右の図のように, AB = 9, AC = 6 である △ABC があり, ∠BACの二等分線と辺BCの交点をDとする。 点Bを通る円 0 があり,円0は点Cで直線ACに接している。 また, 円0と辺 AB の交点のうち, 点Bでない方の点をEとする。 E A (1) BD DC を最も簡単な整数の比で表せ。 B C D (2) 線分AE の長さを求めよ。 また, 線分AD と線分CE の交 点をFとするとき, AF:FD を最も簡単な整数の比で表せ。 (3)(2)のとき、線分 BF と線分 DE の交点をGとする。 BG:GF を最も簡単な整数の比で 表せ。 また, △BCE の面積をSとするとき, △EGF の面積をSを用いて表せ。 (配点 25)

267微分の問題がわかりません 解説ページの矢印の下からわかりません

ABと円Iの接点を D. BCと円Iの接点をEとすると BD=BE= AD=1- AD=BC:DF a t って =BC. AD AB- a²+a よって _ Aにおける と,点Bにおける接 交点をFとすると, 理により FBA= ∠ACB, の実数解であるから、この判別式をDとすると D=(-1)²-4(1-6) DOであるから302438) P-850 -2√251525 また x²+xy²x²-2xy-y²+x+3 =(x+2)-(++(+9) =(12-6)1-1+1=P-P-50 2における5のと りうる値の範囲を求めればよい。 解答編 (問題A,B) 173 る。 f(0) 0 であるから, 0≦x≦1において 1(1)20 よって M=f(1)=1-3a f(x) =0 とすると [2] a>0 (x)の増減表は次のようになる。 Ja f'(x) + f(x) 0 0 極大 極小 AOPQ=-61+51 FAB= ∠ACB =∠ABCであるから AFABAABC FA=AB.AB 1 BC= a 5 とおくと <FAB= ∠ABC f(t) = 0 とすると f'(t)=3F2-21-5=(+1)3-5) f=-1. ゆえに, y=f(x) の グラフは右の図のよう になる。 1y() 2a√√a 例題 35 002 とする。 座標平面上の3点0(0, 0) P(cose, sin). Q(1, 3sin28) が三角形をなすとき, OPQの面積の最大値を求めよ。 sino=t とおき, OPQ を tで表す。 △OPQ= -1/2 |condo-3sin 20-shin0-1|-2|cond-ssin@cong-sino| -1/26sin0(1-sin°0)-sing|-2|-6sin'9+5sine| sin=t とおくと,002 から また f(t)=-6f +5t とおくと -1st≤1 = [ 22 一橋大 ] (x., Jr) A 10.0) (22) f'(t)=-18+5 における)の増減表は次のよう f(√)=20√a であ るから,f(x)=2√a 2√√√a f(t) = 0 とすると t 10 15 10 -1 10 1 6 6 t=± a O Ja √18 6 f' (t)] 0 + 0 になる。 となるxを求めると, C u=2FA=2 から a -2√2 5 -1 ... 2√2 3ax=2a√a より 3a 3 f'(0) + 0 - 0 + よって x=-a2/a F(r) ▼ 極大 ▼ 極小 +1202 とすると a²+a=-a (a−1) =-15 ここで(-2√2)=86v2. f(-1)=3. 175 (2√2)=-8+6√2 -12 であるから a=0, おけるf(α)の増減表は次のようにな -8-6√2-27 175 4 0 3 √2 また、6/2=72 より 8+6√2 <-8+9 =1で あるから -8+6√2<3 OTS (x+a)(x-2√a) = 0 x>0であるものは x=2√a 0≦x≦1において, f(x)| |f (1) であるから M=lf(1)|=1-3 1<2va すなわち ~ 4/1のとき 0≦x≦1において, f(x) slf(√)であるか ら M=\f(√a)|=2a√a (i) 1<√ すなわち 1 <αのとき 右のようになる。 1st1 におけるf (t) の増減表は f(t)=6t-5t=-f(t) であるから f(t) 極小 大 |f(-1)|=|f(t)| すなわち <as 1/2 のとき + 0 以上から -8-6√/2x²+xy²x²-2xy-y²+x+y≤3 極大 例えばx2 るから, ♪が最大となるαの値は 367 関数の最大・最小 x=1でもスニーでも一緒以上から 出題テーマと考え方。 M= ときのかの値は =27 8 国公立大発展レベル である。 の変化 ベル 文字数を含む絶対値関数の最大・最小 係数の範囲によって、 最大最小を与えるxの 値が変わることに注意。 1-3a (a<) 2a√ā (sa≤1) 3a-1 (1<a) A ここで f(0)=0. (10)=√10 (-6+5)=√10 (1)=-1 9 よってf(0)|<|S(1)||) であるから、最大値は 1.5VT05/10 2 9 18 B 0≦x≦1において, f(x) f(1) であるから M=lf(1)|=3a-1 *265 AB=AC=1, BC =α の二等辺三角形ABC の内接円をI,外接円をOとす る。ただし, 0<a<√2 である。また,三角形ABC と円Iの3つの接点を頂点 とする三角形をT, 3点 A, B, Cで円Oに外接する三角形をUとする。 三角形Tの, BC に平行な辺の長さをαで表せ。 ② 三角形Uの, BC に平行な辺の長さをαで表せ。 したがって、Mは4/13 で =pとするかが最大となるαの値と,そのときのかの値を求めよ。 [22 早稲田大) 出題テーマと考え方 は減少し、では増加 M10- 値のとりうる範囲 f(x)=f(x)が成り立つから, g(x)=f(x)]とお axyの関係式を導き, 対称式 考える。 よって、 g(x)は偶関数である 注意。 (x+y2-xy=6 ■次方程式pt+12-60 もの範囲を 求めるのに使う √1)=1³-3ax +5 f'(x)=3x²-3a=3(x²-α ) 20のとき ゆえに、区間 0≦x≦1 の範囲で最大値 M を考えれ ばよい。 <とg(x)=(-x)=1-f(x)x20.0で =1f(x)=g(x) 左右対称 するから,a=1で最小値 をとる。 4 参考αの関数 Mのグラフ は,右の図のようになる。 0 1 常にf(x) ≧0であるから,f(x)は増加関数であ 266 実数x, yが条件 x²+xy+y^2=6 を満たしながら動くとき, xy+xy2-x²-2xy-y'+x+y がとりうる値の範囲を求めよ。 [12 京都大 〕 α を実数とし、f(x) =x-3ax とする。 区間 -1≦x≦1 における f(x) | の最大値をMとする。 Mの最小値とそのときのαの値を求めよ。 [16 一橋大 ] 37 最大・最小 (微分法) 77

以下の問題の(1)で解答に辺AC は円O の直径であるから 角ADC=90度 と書いてあったのですが、これはなぜ分かるのですか？ お願いします。

16 AB=10, AC=14 である △ABC がある。 辺ACを A 0 直径とする円0 が辺BC上の点Dを通っており,CD=11 である。 (1) 線分 AD, BD の長さをそれぞれ求めよ。 (2)円 0と辺ABの交点のうち, Aでない方の点をEと B D C する。 線分 BE, DE の長さをそれぞれ求めよ。 (3)(2)のとき,2直線ACとDEの交点をFとする。 の値を求めよ。 また, △AFE の CF FA 面積を Sとし,△BDE の面積をTとする。その値を求めよ。 (配点 25)