ページ3:

◎等比型「an=ran」
antiranでanを左辺に移動させると、両辺÷anして
ami=r(一足)→どの連続する2項の比がrで一足!
an
つまり、数列{an}は「比数列だといえる。したがって、以下が成り立つ。
a, a2
as
A+ Q5 Q6 an
at
as ab
いく
xr
xr
xr
xr
xr
例えば、asはairを2回かけたもの→asaaixra
a5はanにrを4回かけたもの→as=aixr4
aoはanにrを5回かけたもの→a=axr5
⇒anはanにrz(n-1)回かけたもの→aneanxrn-l
<用語>
・公比…等比数列で何倍すれば次の項の値になるか。
一般的にんで表される。common ratioaro
Point1漸化式の超スーパー基礎
anti=antd…等差型。数列{an}は等差数列
Qn = Q₁ + (n-1).d
1
.
anti=ran
an=ai-rn-i
等型。数列{an}は等比数列

ページ4:

今、基本の漸化式2パターンを見てきたが、ここからは少し別の形を見てみよう。
@階差型「amiantf(n) (nの式)」
(木f(n)には2n-1や㎥i+2n+9などのんの式が入る。)
anti=an+f(n)でanを移項すると.
anti-an = f(n)
つまり、連続する2項の差がf(n)で表されるということだ。
これは書き方を変えてみると、
An A2 A3 A4
Q5 Q6 an
+f(1) +f(2) f() +f(t) +f(5) +f(6)→階差数列になる
例えば、ag=a1f(1)+f(2)+f(3)+f(+)
bf(F)がた1~k=4のときの和
=a,+f(k)
k=1
an=a,+f(n+f(2)+f()+f(4)+f(5)+f(6)
bf(k)がk=1~k-6のときの和
=
a
= Q,宮f()
⇒am=ar+f()…①んではなくのほまでだということに
しかし、式①はんこ2のみでしか成り立たない。
それは、n=1のとき
2f(x) = 2.7)==
注意!
Σf(k)=f(2)ここが0となり、計算ができない
*-1 7-1
なので、式①でのヱを計算した式(②)にη=1を代入してみて、
その値がaと一致すれば、式②はん=1,2,3で成り立ち、
一致しなければ式回はn≧2でしか成り立たない。
Point2漸化式の基礎
・Qnti=an+f(n)…階型。数列{a}の階差数列を用いて計算
芝f(k)
an=ant
漸化式の問題は、頑張ってPoint1 Point2の形に変形する。
①等差型 ami=Qn+d
②等比型
Cnt = ran
③階差型 anti=an+fin)

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◎特殊解型「ami=pantors
方針特殊解型の考え方
An=pan+g」の+がなければ等比型だなあ…
⇒なんとかして等比型に変換したい!
例えば、ami=3an-4,Q,=4で考えてみる。
一旦amuとanを〆におきかえた式を考えると、
d=3d-4(特性方程式と呼ばれるもの)
これを計算してd=2が得られる。これを特殊解という)
ここで、元の漸化式と〆に具体的な値を代入した式を
縦に並べて2式を引き算すると
anti=3an-4←元の漸化式
引き算→
2=32-4-dに置き換えた式に
d=2を代入した式
anti-2=3(an-2)
よって、 ami-2=3(an-2) という式が得られる。
ここで、いの中身an-2をbnとおくと(bn=an-2),
bm=ami-2となる。
- bn = An-29 nzn+11= $237=17!
つまり、an+1-2=3(an-2)
⇔
bnti=3bn
しゃ数列{bn}は公比が3の等比数列になる
このとき、bnの一般項を求めると、byの値が必要になるので、
bn=an-2よりn=1のとき b,=a1-2=4-2-2となるので
{6}は初項2で公比3の等比数列なので、
bn = 2x3n-
bn=an-2であるから
an-2=2x37-1
ian=2x3m+2

ページ6:

☆なぜautianを同じ文字〆に置き換えて良いのか?
今回の問題で考えると、
anti=3an-4
-2 2=32-4
ant-2=3(an-2)
展開して整理すると、
両辺から同じものを引いても
「=」の関係は変わらない
「等式変形」といえる
amii-2=3an-6⇔ami3an-4→元の漸化式に
変形して戻せた!
・変形のやり方だと、良い感じに等比数列に変形できる。
つまり、QniQuiiを〆に置き換えて良いのは、うまい具合に式変形するために
都合の良い値を出す手段であるから。
Point3特殊解型の考え方(超ダイジェスト版)
ami=pan+q
-2d=pd+q
ami-d=p(an-〆)→bn=an-dとおく
bm=pon…数列{6}は公比の等比数列
よって、bn=bipal (buは{bn}の初項)
bbn=andより beard
②
①②より an-d=(a-d)pril
n-l
:an=(ard)p+d

ページ7:

◎練習問題
・次の漸化式であらわされる数列{an}の一般項を求めよ。
(1) Anti = 2 An, A₁ = 2
(2) anti=an+n+2,are2
(3) anti=
an
A₁=-5
2
(4)anti=3an-2,a1=3
1
(5) Anti
=
Ant 2, A₁ = 7
(6) ami=4an+4,
+4, Q₁ =-2
(7) anti-an=3n+n,a12
97.2
(8) ant
=
An, Q₁ = 555
(9) Antı = Qn+4n, Q₁=2 12.4

ページ8:

◎解答・解説
(1) an=2m (2) an=/n(n+3)(3) Qu=-5-(1)m (4) an=2-3+1
5
(5) An=2n15 (6) Q₁ = -104^-1₁ & (7) Anch³ñ³-2 (8) An= = = (9) Qn= = (4-1)
(1) anti=2an, a1=2
等比型(-2)。
an
an=2x2ml=2よって、an=27
初かけられる公比
(2)Qm=an+n+2,a1=2
2k=1m(n+1)
階差型(ami-an=n+2)。
n-1
m=n-1を代入
n-l
n-l
Qu=2+2k+2=2+2k+221=2+1/2(n-1)n+2(n-1)=1/27(n+3)
初足される値
よって、an=/n(n+3)
(3)Qmian, a1=-5
2 r
21=m
m=9-1を代入
等型(-1/2)。
an=-5-(1) l
サ

ページ9:

(4) anti=3an-2,a13
特殊解型(am=pan+8、p=3,&=-2)。
特性方程式d=3d-2:d=1
anti=3an-2
-21=3-1-2
ami-1-3(an-1)
bn=an-1とおくと, bat=36m
by=ax-1-2より bm=2-3m-l
an-1-2-3m-l
an=2.3m-l
+1
これを実践的な記述で書くならば、
amii=3an-2はanti-1=3(an-1)と変形できる。
ここで、bn=an-1とおくと, bm=3bn
数列{m}は公比3.初頃by=an-1=2であるから、
bn=2.3ml
n-l
am-1=2.3 よって、an=2.3+1」
bnとおかない方法もある(おかないだけでやってることは同じ)
ami=3an-2はanti-1=3(an-1)と変形できる。
数列{an-1}は公比3.初項ai-1-2であるから、
An-1=2-39-1 £37, Qn=2.3"" +1
(5) Anti = An+2, A₁ = 7
等差型。 am=7+2(n-1)=2n+5
よって、an=2n+5
(6) amt=4an+4,a,=-2
特殊解型。
ami=4an+4はami=4(n+1)と変形できる。
数列{an}は公比4,初項ar…なので、
2
an・よって、ani
2
n-14
An' -- 3·4-1 £27, an = -1 - -1 - -1 -
4

ページ10:

(7) anti-an=3n+n,ar=2
階差型。
n-t
n-1
=(+1)(21)
m=n-17
H
An = 2 + 2 (31²+ k) = 2+ 32 k²+ k = 2+ 3+ (n-1)n(2n-1) + + (n-1)n
=2+1/21min(n-1)+/cm-in
= 2+1 \(n-1)n (2n-1) + (n-1) n = 2 + — — (n-1)n { (2n-1)+1}
/(m-onでくくってみる
=2+1/2(n-1)n.2n=2+(n-1)n=no-h+2
2
「がむしゃらに展開しても良いが、
計算ミスをエグいほどしやすいので、
なるべく楽をして計算ミスを減らす!
よって、an=w-+2
(8) Anti = An, Q7 ==>
これを変形すると、
・ami-an=0 つまり公差が0.初項等の等差数列。
{ => Anel = An + 0
537, An=32+0x (n-1) ==33 VPZF, An====
aml
an
つまり公比が1、初頭号の等比数列。
anti=1xQn
よって、amiゆえに、auに
=
つまり、これは等差数列とも等比数列にもなりうる。
<別解>
また、単純に、am=amより
Q2= Q1, A3= A₂, Qq= As, As = A₁,"
よって、ana2= as = aa
ant=an
=
らこれが男だから、
an
+
(9) ant=an+4^, a1=1
階差型。階差数列の一般項が4で表される。
n≧2のとき、
4k
an=1+4=1-3-12(4-1)
S=
等比数列の和く公比r、初項anで第n項までの和は、
a,(r-1) an(1-rm)
r-I
1-r
n=1を代入すると、誰(ヂーリー」でこれはaっと一致するので、
an=1/2(421) はん=1,2,3で成り立つ。