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教科書に載ってる証明問題 (説明しただけ) 【円周角の定理の利用】 問.右の図で、A, B, C, D は円周上の点で、 弧AB=弧 AC です。 弦AD, B の交点 をPとするとき、 △ABP ADB となりま す。このことを証明しなさい。 P ●長さが等しい弧に対する円周角は等しい。 【証明】 ABPと△ADB において B D 共通な角より 共通な角 D LBAP = ∠DAB ･･････ ① 弧AC =弧AB で、 円周角 等しい弧に対する円周角は等しいから B ∠ABP= ∠ADB …② ① ②より、 2組の角がそれぞれ等しいから △ABP∽△ADB
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問. 右の図で、 A, B, Cは円 0 の周上の 点で、BC は直径です。 ∠ABCの二等 分線をひき、 弦 AC, 円 0 との交点をそ れぞれ D, E とします。 A E B C O このとき、 ∠ABC=60度であれば、 △ABC∽△EDCとなります。 このことを証明しなさい。 ●直径に対する円周角は90度/三角形の内角の和は180度
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【証明】 △ABCと△EDCにおいて 弧 BC に対する円周角は等しいから ∠BAC= ∠DEC=90度 180-(90+60) ・① 三角形の内角の和は180度だから ∠ACB = 30度 ・・・ ② A E D 仮定より ∠ABE = 30度 ・・・③ B 弧AEに対する円周角 弧 AE に対する円周角は等しいから ∠ABE = ∠ECD ・・・ ④ ② ③ ④より ∠ACB=∠ECD = 30度 ･････⑤ ①と⑤より、2組の角がそれぞれ等しいから △ABC∽△EDC C
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問. 右の図で、 △PACと△PDBは B. 相似であることを証明しなさい。 P ●同じ弧に対する円周角は等しい。 【証明】 △PACと△PDB で 共通な角だから LAPC=LDPB ･･････ ① 弧 AD に対する円周角は等しいから ∠ACD= ∠ABD ･･････ ② ① ②より、 2組の角がそれぞれ等しいから , △PAC∽△PDB D 【余談】 △PAC∽△PDB で、相似な図形の対応する辺の比は等しいから PA:PD=PC:PB 方べきの定理 PAxPB=PC×PD っていいます
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〖教科書章末問題】 3. 右の図で、A, B, C, D は円周上の点です。 弦BD 上に、 AB // EC となる点 E をとる とき、 ACD∽△BEC となります。 このことを証明しなさい。 ●平行線の錯角は等しい。 【証明】 ACDとABECにおいて 弧 DC に対する円周角は等しいから LDAC=LCBE …1 AB // EC で、 平行線の錯角は等しいから ∠CEB=∠ABD ･･･② EX C B E C 弧 AD に対する円周角は等しいから LDCA=LABD ...③ 三段論法 ②と③より B ∠CEB=∠DCA ･･････④ ①と④より、2組の角がそれぞれ等しいから △ACD∽△BEC
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