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4 【選択問題】 (配点 50点) kを実数の定数とし, xの2次方程式 x2+kx+k=0 の2解をα,β とする. ･･･(*) (1) k=2のとき, (*) を解け. (2) a, βがともに虚数であるようなkの値の範囲を求めよ. (3) α,βがともに虚数であり,かつ, α2 + β2 =3となるようなん の値を求めよ. (4)(3)のとき, (a + ß)³ = pa³ + qß³ 5 が成り立つような実数 p, q の値を求めよ.
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第1回全統高2模試 @自学 Akagi 4 複素数と方程式 (1) x 2 + kx + k = 0 ... (*) k=2のとき, (*)を解くと x2 + 2x +2= 0 -2 ±√22-4×1×2 x= 2 -2±√-4 2 -2±2i 2 = -1±i 合 a,βがともに虚数であるためには, (*)の判別式が負, すなわちD <0となればよいので D=k2-4x1xk < 0 k(k-4) < 0 0 < k < 4
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(3) x2+kx+k = 0 ... (*) a,βがともに虚数 (2)より0<k <4…①) かつ 2 a2+B2=3 ➡ (a + ß)² - 2aß = 3 ここで,(*)で解と係数の関係により a + β=-k aβ = k ③を②へ代入して ①より (-k)²-2xk=3 k2-2k-3=0 (k-3)(k + 1) = 0 k = 3
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(4)(3)のとき, すなわちん = 3のとき x 2 +3k +3=0 …(*) (*)で解と係数の関係により よって 一方··· a + β = -3 |aß = 3 (a+β)' = (-3)=-243 1 αは(*)の解のひとつだから a2+3a +3= 0 a² = -30-3 ⑤の両辺を2乗して 次 a = 9a2+18α + 9 ⑤を代入して 数 下 ⑥の両辺にαをかけてげ ⑦に⑤を代入して a4 =9(-3a-3) + 18a + 9 ∴.α4 = -9α-18 a =-9a2-18a ・⑦ a=-9(-3a-3)-18a ∴. α = 9a + 27 同様に ④からβ=-α-3だから β = 9β + 27 β=9(-α-3)+27 |ẞ5 = -9a| よって pa³ +qß³ = p(9a +27) + q(-9a) ①②より =9pa +27p-9qa =(9p-9q)a+27p (9p-9q)a+27 p =- -243 αは虚数だから, 複素数の相等により [9p-9q=0 ∴p=-9,g=-9 |27p=-243
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