高2ﾘｸ① 複素数と方程式～進研模試対策～

整式・分布式の計算二項定理 2次方程式複素数と方程式高次方程式等式と不等式の証明

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赤城 (◕ᴗ◕🎀)

高校2年生

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ひたすら複素数と方程式①（7月進研記述模試過去問）

2026.05.25 公開

高2 複素数と方程式高次方程式進研記述模試過去問赤城過去問解説赤本青本

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ノートテキスト

ページ1:

高2 数学Ⅱ(複素数と方程式)7月進研模試 過去問抜粋
B4 整式P(x) = x3 - (k +4)x2 + (2k+5)x +3k+10がある。
ただし, kは実数の定数とする。
(1) P(-1)の値を求めよ。
(2)3次方程式P(x)=0虚数解をもつようなkの値の範囲を
求めよ。
(3)(2)のとき,3次方程式P(x)の3つの解をα, β,yとする。
(a + 2β)2 + (β +2y)2 + (y+20)²=11となるようなkの値を
(配点 20 )
求めよ。

ページ2:

解答例
P(x) = x3 -(k+4)x2 + (2k +5)x + 3k + 10
(-1)-(k+4)(-1)^+ (2k+5)・(-1) + 3k + 10
-1-k-4-2k - 5 + 3k + 10
(1) P(-1)
=
=
=
0 圈
因数定理
(2)(1)よりP(x) =0はx=-1を解にもつので, 因数分解すると
1 -(k+4)
(2k+5)
3k+10 | 1
組立除法
-1
k+5
-3k-10
1 -k-5
0
P(x)=(x+1){x2-(k + 5)x + 3k +
3k+10
+10}
P(x) = 0より
x=-1(実数解)
または
x 2 - (k +5)x +3k + 10 = 0 ①
x² − (k+5)x+3k = ·
よって, 虚数解をもつには方程式 ①が虚数解をもつ, すなわち
判別式をDとするとD<0となればよいので
D =
=
(k + 5)2-4(3k + 10)
= k2-2k-15
D<0より
k2-2k-15< 0
(x-a)(x-β) < 0
⇔a<x<β
(k+3)(k-5) < 0
したがって
−3<k<5\

ページ3:

(3)(2)のとき(-3<k<5) x2 - (k +5)x +3k +100 ...... ①
x² − 5)x+3k 0······①
P(x) =0の解の1つがx=-1だからy=-1とする。
方程式①の2つの解を α,β とすると,解と係数の関係により
Ja+β=k+5 ②
laβ=3k +10 ...... ③
ここで
(a + 2β)2 + (B+2y)2 + (y+20) 2
y =-1
= (a +2β)2 +(B-2)^+(-1+2a)2
=(a²+4aβ+4β2)+(β2-4β+4) + (1-4a + 4a²)
=5(a² + β2)-4(a + β) + 4aβ + 5
対称式変形
=5{(a+B)2-20B}-4(a + β) + 4aβ + 5
= 5(a + ß)² − 4(a + ß) − 6aß +5
-
= 5(k +5)2-4(k + 5) -6(3k +10) + 5
= 5k2 + 28k + 50
② ③を
代入
これが 11 だから
5k2 + 28k +50=11
-3<k<5より
(5k+13)(k+3) = 0
k
=
13
5