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a を m で割ったときの商をq,余りをr とすると a = mq + r と書ける。
a^n = (mq + r)^n となり 、 二項定理で展開すると (べき乗を ^で表す)
(mq + r)^n = (mq)^n + nC1*(mq)^(n-1)*r + nC2*(mq)^(n-2)*r^2 + … + nC(n-1)*(mq)*r^(n-1) + r^n
ここで {(mq)^n + nC1*(mq)^(n-1)*r + nC2*(mq)^(n-2)*r^2 + … + nC(n-1)*(mq)*r^(n-1)} は mを1個以上含むので mで割り切れる。
(mq)^n + nC1*(mq)^(n-1)*r + nC2*(mq)^(n-2)*r^2 + … + nC(n-1)*(mq)*r^(n-1) = mN とすると
(mq + r)^n = mN + r^n となり
「(mq + r)^n を mで割った余り」は 「r^n を mで割った余り」と等しくなります。
なので
a = 7q + 2 のとき 「a^2014 を 7で割った余り」は「2^2014 を 7で割った余り」と等しくなる。
2^2014 = 2^(3*671+1) = 2 * (2^3)^671 = 2 * 8^671
8 = 7*1 + 1 なので 「8^671 を 7で割った余り」は「1^671 を 7で割った余り」と等しくなる。
8^671 を 7で割った余りは 1^671=1 となるので
2*1=2 。
∴ a^2014 を 7で割った余りは 2
