*166 第3章整数の性質
補いろいろな方程式の整数解
く発>展問題
|例題 40 等式 x+2y+3z=12 を満たす自然数 x, y, zの組をすべて家めよ。
Aが自然数(正の整数) → A>0, A21 という条件を活かし, 値を絞り込込む。
指針
係数が最大の2の項以外を右辺に移項し, x>1, yZ1 を利用すると
32=12-x-2yハ12-1-2·1=9 となり,zの値が絞り込める。
32=12-x-2yハ12-1-2-1=9
解答
x21, y21であるから
ゆえに
えS3
えは自然数であるから
ス=1, 2, 3
[1] z=1 のとき
x21であるから 2y=9ーx<9-1=8
x+2y=9
ゆえに
yS4
yは自然数であるから
ソ=1, 2, 3, 4
よって
[2] z=2 のとき
x21であるから 2y=6-xい6-1=5
x+2y=6
ゆえに
5
yS
yは自然数であるから
y=1, 2
よって
[3] z=3のとき
x+2y=3
x21であるから 2y=3-x<3-1=2
ゆえに
yS1
yは自然数であるから
ソ=1
よって
以上から(x, y, z)=(7, 1, 1), (5, 2, 1), (3, 3, 1), (1, 4, 1),
(4, 1, 2), (2, 2, 2), (1, 1, 3) 答
x+2y
金 別解 2=4-
3
と変形できる。
x, y, zは自然数より x+2y=3, 6, 9
x+2y=3 のとき (x, y, z)=(1, 1, 3)
x+2y=6 のとき (x, y, z)=(2, 2, 2), (4, 1, 2)
x+2y=9 のとき (x, y, z)=(1, 4, 1), (3, 3, 1), (5, 2, 1), ()
|291 等式 4x+2y+z=15 を満たす自然数x, y, zの組をすべて求めよ。
