この微分の単元の問題で、(ii)において解答では0<√a<1と√a≧1で場合分けされているところを、0<√a≦1と√a>1で場合分けして解いたのですが、これは間違っていますか？
382 第6章 微 分 法
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例題 213 最大·最小の応用2 小 大島
○OSxs1 において、 関数 f(x)=ーx"+3ax (a lは定数)の最大値を並
めよ。
考え方 の値によって関数が変化するので, 場合分けをする。
関数の最大、最小を調べるには、極値と区間の両端で
の値を比べればよかったので、 場合分けのポイントは,
極値と区間の位置関係である。 この場合,極値が区間
に含まれるかどうか考えればよい。
m m
w
へ
『(x)のグラフを考え
ると,
『(x)=-x+3axより, S(x)=-3x"+3a=-3(x°-a)
(i) aK0 のとき
ーa20 より,
であるから、
よって,つねにf'(x)<0 より,
f(x) は単調減少する。
したがって、右の図より,
x=0 のとき,最最大値 f(0)=0
(i) a>0 のとき
f(x)
=-3(x+Va)(x-Va)
f(x)の x20 での増減表
は右のようになる。
(ア) 0<Va<1 つまり, 0<a<1のとき
区間 0Sx<1 の中に x=Va
が入るから,右の図より,
x=Va で極大かつ最大となり,
最大値 f(Va)=2a/a
解答
x-a20
●3(x-a)S0
a<0
a=0
Y4
x
最大
グうつが
0
1
x
3a-1
a>0
A
x
0
Va
0
x=Va と x=-a
f(x) 0|||極大 で極値をとるが,
0Sx<1 の区間に
x=-a <0 が含まれ
ることはないので,
x=Va のみ考える。
(ア) 極値が区間に含ま
2ava
最大
0
Va l\x
3 )az1 つまり,
れる場合
1 のとき
区間 0<x<1 で f'(x)20
より,単調増加するので,
右の図より,x=1 のとき,
最大値 f(1)=3a-1
(i), (i)より, 求める最大値は, a<0 のとき,
最大
(イ)極値が区間に含ま
3a-1
れない場合
|0</a<1, (a2l
0
1Va
x
の辺々を2乗して,
0<a<1, a21
ト<D
0<a<1 のとき, 2a/a
a21 のとき,
3a-1
メ
Focus
極値が区間に含まれるか含まれないかで場合分け
補翌
0Sr<1 において
開粘
早い解答ありがとうございます！