Question

けろろ

赤矢印のところですが、なぜ2乗をするのでしょうか？また、ベクトルの大きさは成分を2乗すると思っていたので、この変形でなぜベクトルの大きさになるのかが知りたいです。

506第9章 平面上のベクトル
一 80
内積とベクトルの大きさ2)
ベクトルa, 5がā-あ=1, |2a+36|=1 を満たすとき,
例題
Ta+h
319
の最大値,最小値を求めよ。
考え方a-5=i, 2a+35=ü とおくと, |z|=1, |o|=1, ā+ち=u+27
5
となる。
とおくと,
解答 a-5-i .①, 2ā+35=0
z=1, |=1
の, 2より,, 万をū, ūで表すと,
の×3+2り、
5a=3u+
-3u+u
あ=
ひ-2u
5
08 20 s 56=0-2
5
a+5=u+20
5
1
là+6P=
u+2v P
(zP+4o+4|P)
5
25
21=1, b=1
ー(+4i-i+4×1)
25
1
(5+4·0)
3
a-6=lalblcos)と
-1Scos0<1よ
-1SS1
ここで,-||||si-v<lū||i| より。
9
したがって,③より, sla+6fs
3
25
25
i+20より,吉は+引に号
a+6=- となるのは, u·v=1 のときであり, このときūa-5=là面の
とむは同じ向きであるから, u=v, すなわち, ①, ②より,
a-6=2a+35 であるから, a=-46
cos0=1 より,
0=0°
2=| で同じ
条件を満たす。
が存在するこ
認したが,御
もよい。
a-5=-la
uとうは逆向きであるから, u=-, すなわち, ①, ②より,き。
このとき,a-石=-56|=1 より, 16|=
a+引= となるのは, z-v=-1 のときであり,このとき
, cos=
り, @=180
a-5=-(24+35) であるから, a=-
3
このとき, は-あ=--1 より, 16=号
3
5
3
よって, la+6|の最大値 -
, 最小値一

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

塾講師 「たおたん先生」

|→a+→b|の最大値・最小値を求める問題であり、|→a+→b|=|(→u+2→v)/5|と変形できることから、今回の問題は|(→u+2→v)/5|の最大値・最小値を求める問題と考えてよい。また|→u|と|→v|の値がそれぞれ分かっているので|(→u+2→v)/5|のまま扱うより2乗して|→u|と|→v|の値を使える形に変形した方がよい。これが2乗する理由

今回のように複数のベクトル(今回で言うと「→u」と「→v」)で合成されたベクトル(今回でいうと「(→u+2→v)/5)」)の大きさを考える時は「困ったらとりあえず2乗する」がお決まり。

質問の後半の「また、ベクトルの大きさは成分を2乗すると思っていたので、この変形でなぜベクトルの大きさになるのかが知りたいです。」は、ごめんなさいいまいち質問内容が分かりません。

塾講師 「たおたん先生」

「(→a+→b)^2」が「|→a+→b|^2」になることが納得できない、ということでしょうか？

けろろ

そうです！

けろろ

分かりにくくてすいません

塾講師 「たおたん先生」

(→a＋→b)ではなく、一度シンプルな→aで同様に考えてみましょう。
(→a)^2とは(→a)×(→a)のことです。
これは「ベクトルのかけ算」すなわち「内積」です。
つまり(→a)^2=(→a)×(→a)
=→a・→a
=|→a|・|→a|・cosθ・・・①
ここで→aと→aは同じベクトルなので→aと→aのなす角θは0度です。
よってcosθ＝cos 0＝1なので
①の右辺は|→a|・|→a|・1=|→a|^2
よって(→a)^2=|→a|^2
これを→a+→bでも同様に成り立ちます。
慣れるまでイメージしにくい場合は
→a+→bを→Pとし
(→a＋→b)^2=(→P)^2
　　　　　　=|→P|^2
　　　　　　=|→a+→b|^2
と理解してもいいですが、「→a+→bも結局１つのベクトルを表している」というイメージが持てるようになると(慣れてくると)、いちいち置き換えなくても変形できるようになると思います。