Question

アカリ

2番の3枚目の解説にある、この2解をもつ二次方程式でX二乗の係数が〜の所から理解が出来ないです。
何をやっているのか分からなくなったので、教えて頂きたいです。よろしくお願いします🙇‍♀️

13| 3次方程式(xーaXx?+bx+c)=0(a,b, cは実数の定数の3つっの解のうち, 実数解と1つの虚数解の和か
1+ 3i
10
である。
10
1+ 3
をp+qi(p,qは実数の形で表せ。
(2) a=2 のとき,3つの解のうちの虚数解をすべて求めよ。また、b,cの値を求めよ。
(3) 2つの虚数解をα,βとするとき、α+βとaBの値をaを用いて表せ。
(4) 3つの解の平方の和が4となるようなaの値を求めよ。

中ロ
10(1-3i)
1+ 3(1+3i)(1-3)
10(1-3i)
10
10
=1-3i
(2 虚数解は2つ存在するため、a,sとすると条件より、実数解が2だから1つの虚数解がaのとき
10
=2+a がなりたつ。
1+3

SHRで全員提出!!
2年(
)組(
)番 氏名(
よってa=1-3i-2=-1-3i となりBは共役な複素数なのでβ= -1+3
この2解をもつ2次方程式での係数の1のものを求めると、a+β=-2, aβ=10と計算できるから
x*+ bx+c=0 について、解と係数の関係より、b=2,c=10

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

こんぱち

乱暴な解説ですね笑
まず問題の条件から、
(x^2-2)(x^2+bx+c)=0は、
右側のカッコのなかの2次方程式x^2+bx+c=0が、虚数解を二つ持たなければいけないことはわかりますか？

そして、一般に2次方程式が虚数解をもつとき、
必ずそれと共役な複素数も解となることがわかっています。
従ってこの解説のようにαを-1+3iとおけば、もう一つの解であるβはそれと共役な複素数になりますよね。

ところで、2次方程式には解と係数の関係がありますが、
これによって、αとβを解にもつような2次方程式を作ることができます。
しかしこのとき、作る方程式はx＾2の係数しだいでいくつも考えられるので、
簡単にするためにとりあえず係数1にしてみます。
すると作れる方程式は

x^2-(α＋β)x＋αβ＝0です。αとβにさっきの数を代入して計算すると、

(ここはやってみてください).

しかも、今作った方程式は、x^2+bx+c=0 とおなじにならなければおかしいので、見比べることでbとcの値が決まることになります。