Question

もも氏

（2）で、どんなふうに丸で囲んだ不等号に決まるか教えてください

89
次の条件を満満たす定数aの値の範囲を求めよ。
例題
不等式を満たす整数
101
x°+2x-15>0
lx-(a+1)x+a<0 .②
を満たす整数xがちょうど3個存在
する。
2x-3x+a<0 を満たす整数xがちょうど4個存在する。
(1)aと1との大小関係に着目し, 場合分けして調べる.
考え方」
第2章
3
=; より,その4個の整数は、
4
3
4
から近い4つの整数。
x?+2x-15>0 より,
したがって,
x?-(a+1)x++a<0 より, (x-1)(x-a)<0 2
(i) a<1 のとき, ②'より,
D', 2'より, 不等式を
満たす整数xがちょうど
3個となるのは右の図の
場合である。
したがって,
a=1 のとき, ②'は解なしで不適
a>1 のとき,②'より,
D', 2'より,不等式を
満たす整数xがちょうど
3個となるのは右の図の 二
解答
(x+5)(x-3)>0
xく-5,3<x……①
(x-1)(x-a)<0
a<x<1
de ths
2
a、
場合分けが必要
-9
-8-6
11
3x
-9Saく-8
a=-9 でもxの範囲
は -9<xく-5 とな
り,x=-6, -7,
-8 となる。
1<x<a
2
1'
1
一方,a=-8 とす
ると、-8<x<-5
より,x=-6, -7
となり不適。
a
134567 X
場合である。
したがって,
よって,(i)~()より,
(2) f(x)=2x°-3x+a とおくと,
6<a%7
-9Sa<-8, 6<a£7
3
4
3
軸は x=-
4
(一定)
(x)=2(x-)-
ta
8
-2
3
に注意する。
x
3
軸は直線 x=
4
より,f(x)<0
軸に近い整数4個
を満たす整数xがちょうど4個と
なるのは右の図の場合である。
f(-2)=14+a0
f(2)=2+a<0,
-9Sa<-5
f(-1)=5+a<0,
f(3)=9+a20)
条件は、
-2 a
-14 -9
-5
これらより,
Focus
不等式を満たす整数 → 等号の吟味をしっかりせよ
練習 2xーxー3>0, x*+(2a-3)x-4a+2<0 を同時に満たす整数xがただ1つ在
査するときの,定数aの値の範囲を求めよ。
D.180 E
00

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Haruki

aの値を変化させることでグラフが上下に動くことを利用します。

まず頂点がx軸より上にあると条件を満たしません。

ですからaの値を小さくしていってグラフをx軸より下の部分ができるように下げていきます。
すると軸がx=3/4ですから、グラフが左右対称であるため、下げていくと初めにx=1、次にx=0、それからx=2、そしてx=-1が解を持つようになります。

今回の問題はf(x)<0ですから、グラフがちょうど(-1,0)を通った時、それはx=-1を解に持ちません。ですからグラフは(-1,0)より下を通らなければならないので、f(-1)<0
※f(2)<0もこれど同様のことをしていますが、軸の位置から考えて、f(-1)<0のときは必ずf(2)<0になるので省略しても構わないと思います。

また、f(x)<0であるのでグラフが(3,0)を通った時はx=3を解に持ちませんが、(3,0)より少しでも右を通ってしまうとx=3を解に持ってしまうので条件を満たさなくなってしまいます。ですから、f(3)≧0
※f(-2)≧0も上記と同様の理由で省略可

頂点や軸、定数aの値の変化がグラフをどのように動かすかなどに注意してグラフを吟味してみましょう。<と≦の違いにも注意です。

もも氏

ありがとうございます！