Question

放浪者

どこからこの式が出てきたのか教えてください。

例題 112 反転による軌跡
原点0を端点とする半直線上の2点 P(x, y), Q(X, Y) が OP·OQ=4
を満たしている。
(1) x, yをX,Yで表せ。
(2) 点Pが直線2.x+y=1 上を動くとき, 点Qの軌跡を求めよ。
点Pは半直線OQ上にあるから, OP: 0Q3t:1(t>0) とおける。 Y
3点0, P, Qは, 0<t<1 のとき, 0, P, Qの順に, t>1 の
とき、0, Q. Pの順に並ぶ。
また,OP=x+y, 0Q=VX+Yy であり, xyキ0 のとき,
*とX, yとYは同符号より, OP:0Q=x: X=y:Y である. 0
考え方
解答(1) 点Pは半直線 OQ上にあるから, OP: 0Q=t:1 (t>0)とおける。
OP=tOQ であり, OP=\x?+y?, 0Q=VX?+Y? より,
OP-0Q=D10Q"=Dt(X°+Y)
OP-0Q=4 より、
t(X+Y)=4 0でないから割れs,
…… の
これより,X+y?キ0 であるから
, t=4y
X?+Y?
xyキ0 のとき,xとX, yとYは同符号より。
OP:0Q=x:X=y:Y=t:1(>0)
4X
したがって,x=tX より, ①を代入して,
x=
X+Y?
同様にして、
y=tY=-
4Y
X?+Y?
x=0 のとき,X=0 より②に含まれ, y=0 のときも同様に③に含まれる
よって、
4X
*ミー
4Y
+y, ソ=-
「X+Y?
(2) 2x+y=1 に②, ③を代入すると,
4X
X°+Y?TX+Y?=1
4Y
8X+4Y=X"+y? より、
ただし、X°+Y"キ0 より, X=Y=0 を除く. X°+Y"=0 となるのは,
よって,点Qの軌跡は,
中心(4, 2),半径 2,5 の円 ただし, 原点を除く.
(X-4)+(Y-2)?=D20
X=Y=0 のとき

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

ベクトルでもないのに、なぜ内積が出てくるのだろう…

問題文に
OP・OQ＝4を満たしている
と書かれています。
だから、OP・OQが唐突に出てきたわけではなく、OP・OQをt,x,y,X,Yで表したかったのです。

放浪者

理解できました。
ありがとうございます。

Answer 2

🍊

わからなかったら言ってください

放浪者

返信ありがとうございます。
まだベクトルっぽいやつ習ってないです(>_<)

🍊

そうなんですね！
ちなみにこれは主さんが引いた下線部の上2行を利用しながら内積の公式というものを使っています！

放浪者

なるほどです。
まだベクトルのところまで500ページもあるので頑張ります>_<