Question

三角チョコパイ

(1)と(2)が何をしているのか分かりません。
体積や表面積などの公式は分かるのですが、そこからなぜ微分をするのか、微分とは何かがよく分かっていないのだと思います。
微分について調べてもよく分かりませんでした。誰にでも分かるように教えてくださいm(_ _)m

(2) 球形のゴム風船があり, 半径が毎秒0.5 cmの割合で伸びるように空気
基本例題 173 面積 体積の変化率
を入れる。半径0cmからふくらむとして, 半径が5cmになったときの
(1) 球の半径rが変化するとき, 球の体積1/の, r=5 における変化率を
260
OO000
めよ。
この風船の表面積の, 時間に対する変化率 (cm'/s)を求めよ。
p.254 基本事項名
CHARTOSOLUTION
半径rの球の体積は一元が, 表面積は 4元r
(1) 1/のァ=5 における変化率は, Vのr=5 における微分係数である。
(2) 風船の半径と表面積を,時刻tの関数で表す。半径が5cmのときの時刻
を求める。
注意 どの変数で微分したのかを明示するときには,
dV dV
dr' dt
の形の記号を用
いる。複数の変数を同時に扱う場合, V'という記号は避けた方がよい。
解答
(1) 半径rの球の体積Vは
Vー
dy
『をrで微分すると
4
dr
4
*ては定数。
3r=4
よって,ア=5 における Vの変化率は
(2) 風船がふくらみ始めてからt秒後の風船の半径をrcm,
表面積をScm?とすると
S=4tr=4元(0.5t)ーxピ
4元5°=100元
r=0.5t………0
10秒後
dS
d
ーズ()=2rt
よって
(秒後
*「時間に対する変化率」
は、表面積Sを詩刻をの
関数で表して,tで微分
して求める。
bcm
ア=5 のとき,①から
5=0.5t
したがって
=10
ゆえに,t=10 における Sの変化率は
2π·10=207(cm’/s)
0.5icm

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

こんぱち

この設問の変化率はいわゆる「瞬間の変化率」を問うています。

一般的な話をします。
xがtの関数であるとしましょう。このときxをx(t)と表せます。
x(t)がt=aという「瞬間」にどの程度変化しているのか？を知りたいとします。

これを「x(t)のt=aにおける瞬間の変化率」と呼べます。

この、「瞬間の変化率」の具体的な計算は次のようになります。
x(a)と、そこから僅かに変化したx(a+h)を考えます。
その差はx(a+h)-x(a)となります。
この差をhで割り、lim h→0の極限を考えると、微分係数x‘(a)に一致します。

すなわち、瞬間の変化率とは、微分係数そのものなのです。
違う言葉で同じものを指している、と言っても良いでしょう。

三角チョコパイ

ありがとうございますm(_ _)m