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まず1つめの解法は、1+3iを解にもつと言われているのだから、もとの方程式に代入してやって成立すればよいのです。1+3iを左辺に代入すると実部と虚部に分けられますが、両方とも0になればよいという方針ですね。発想自体は中1からやっていることの延長なので楽ですね。
2つめの解法と3つめの解法では、共役複素数解を利用します。まず前提として、3次方程式の解は3つですね。これをα, β, γとおきます。すると、
(与えられた方程式の左辺)=(x-α)(x-β)(x-γ)=0
が成立しますね。
さらに係数が実数の3次方程式について
①少なくとも1つ実数解を持つ(1つとは限らない)
②虚数a+biを解の1つとして持つとき、その共役複素数a-biも解の1つである
という性質が成り立ちますね。
(※もっと一般的に成り立ちますが、今はこの基本問題が解けることが大事だと考えて、3次方程式に限って書いています。)
今、①から実数解を1つ持つことがわかります。さらに、1+3iを解に持つと教えてくれているのだから、②から1-3iも解に持つことも決定しましたよね。
これらのことから、3つの解は
1つの実数解をα
虚数解β=1+3i
虚数解γ=1-3i
だと分かります。
これを踏まえて2つめの解法は割り算の利用です。
(与えられた方程式の左辺)
=(x-α)(x-(1+3i))(x-(1-3i))
=0
が成立するということは
左辺は(x-(1+3i))(x-(1-3i))で割りきれる、すなわち余りが0となるということです。
3つめの解法は3次方程式の解と係数の関係を利用します。
α+β+γ=
αβ+βγ+γα=
αβγ=
の式を立てて計算すると、aとbが求まります。
3つとも方針は示したので、実際にやってみて下さい。分からなければコメントしてください。
理解出来ました！今回もありがとうございます！
「最適だと思う方法」は、3つの方法のうち、計算量が1つだけ圧倒的に少ないので自ずと分かると思います。