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関数f(x)が区間a<x<bにおいて連続かつ微分可能ならばf'(c)=f(b)-f(a)/b-aを満たす実数cが区間a<x<bに少なくとも1つ存在する
これが平均値の定理です
難しく見えるかもしれませんが要は区間内で微分可能な関数なら良しということです
この定理は不等式の証明で頻出です🌀
f(b)-f(a)の形を見つけたら平均値の定理を疑った方が良いです
この証明も難しく感じるかもしれませんが、e^xから平均値の定理を使うと簡単に証明できるのでたいして難しくありません
f(x)=e^xを微分するとf'(x)=e^xです
平均値の定理を使うと区間a<c<bにおいてf'(c)=f(b)-f(a)/b-aとなるcが少なくともひとつ存在することになります
ここでa<c<bはe^a<e^c<e^bとできますよね
(全てにlogをかけるとloge=1でもとに戻ります)
そしてf'(c)=f(b)-f(a)/b-aというのは=e^cですよね?
なので
e^a<e^c<e^bのe^cにe^c=f(b)-f(a)/b-aを代入することで証明が可能です
証明問題の解答として書いていないのであとはこれを自分の手で書き直してくださいね🍀
わかりやすかったです！💕
ありがとうございました！！