✨ ベストアンサー ✨
(2)の対偶は
「a＋b,a－bがともに有理数⇒a,bの少なくとも一方は有理数」です。つまりこれを示せば良いです。
a＋b,a－bがともに有理数とする。
p,q,r,sは整数(p≠0,s≠0)とすると、
a＋b＝q/p…①、a－b＝s/r…②と表される。
よって、①＋②より、2a＝q/p＋s/r
すなわちa＝qr＋sp/2prで、qr＋spは整数、2prは0でない整数よりaは有理数。
よって、a,bの少なくとも一方が有理数であることが示された。(①－②をすれば実はbも有理数であることが分かる。)
p,q,r,s≠0という書き方がちょっと曖昧ですが、全て0でないという意味なら少し仮定を狭めたものになってしまいます。(a＋b,a－bは0でない有理数になるから)
細かい事を言うと、a＝q/2p＋s/2rが有理数であるというのは(有理数)＋(有理数)＝(有理数)を認めている事になるんですが、普通は認めて良いですがこういう論理の問題なので出来れば通分して明らかに(整数)/(整数)の形にするのがベストかなと思います。減点されるかは分かりません( ˘•ω•˘ ).｡oஇ
q≠0、r≠0という書き方でも大丈夫なんでしょうか？
qではなくてpじゃないですか？分母に来てるのはpなので。p≠0なら大丈夫です
ありがとうございます！！
ありがとうございます！！
これを受けて自分なりに証明をしてみたのですがどうでしょうか。面倒くさくてすみません...