Question

らむ

このようにやったのですが、減点くらいますか？？
やはり別解のように、数学的帰納法を使って厳密に求めないと行けないのでしょうか

演習問題
133-1 数列{an}の初項から第n項までの和Snを
Sn=-n+21n²+65n (n=1,2,3,...)
とする. 一般項an を求めよ.
(大分大)
133-2 数列{an} は各項が正の数で, とくに初項αは2である. この数列の初
項から第n項までの和を Sn とする. すべてのnに対して,
2(Sn+1+Sn)=(Sn+1- Sn)?
(*)
が成り立つとき,次の各問いに答えよ.
(1) S2 Ss を求めよ.
(2) an を求めよ.
0=(3+
FD)S
(慶大)
54
(2) (1+3
:S

022
お
)2²
2-1
n-1
1
素
D
数列である.
1
よって,
an
an=
-=3+(n-1)・1=n+2 より
1
n+2
(2) b₁-a.a₁-¹1-12
3
4
bn+1-bn=an+z4n.2=(n+3)(+4)
より n ≧2のとき
n-1
bm=b₁+ (k+3)(k+4)
k=1
1
1
= + 2 + 2(x+3=k+₁)
12
= 1/2+²=n²+3=3(n+3)
この結果はn=1のときも成り立つ.
よって, bn
n
3(n+3)
4
133-1 a1=S1=-1+21+65=85
n≧2のとき
an=Sn-S-1
=-n²+21n²+65n
-{-(n-1)+21(n-1)2
+65(n-1)}
=-3n²+45n+43
この結果は,n=1のときも成り立つ.
よって, an=-3n²+45n+43
133-2 (1) S1=α1=2 と(*) より
2(S2+2)=(S2-2)2
∴. S2(S2-6)=0
各項が正より S2 S1 = 2 であり,
S2=6
S2=6 と(*) より
2(S3+6)=(S3-6) 2
... (S3-2)(S3-12)=0
各項が正なので S3S2=6であり,
S3=12
(2) n≧2 のとき
2(Sn+1+Sn)=(Sn+1−Sn) 2
2(S+Sn-1)=(Sn-Sn-1)2
①②から
2(an+1+an)=an+12-an²01
2(an+1+an)=(an+1-an)(an+1+an)
an+1+an>0 より
A
an+1-An=2
ここで、a2=S2-a1=6-2=4より
a-a=4-2=2
よって, ③はn=1のときも成り立つ.
{an} は初項2,公差2の等差数列である
から
an=2+2(n-1)=2n
(1) の結果から,
Sn=n(n+1)...･･・(**) と予想される .
これを数学的帰納法によって示す.
(I) n=1のとき, Si=2より(**)
1970
は成り立つ.
(II)n=kのとき(**) が成り立つ,
別解
すなわち, Sh=k(k+1) であるとする.
2(Sk+1+Sk)=(Sk+1 - Sk2より
Sk+12-2(Sk+1)Sk+1+Sk (Sk-2)=0
これに(**)を代入して,
Sk+12-2(k2+k+1)Sk+1
よって,
+k(k+1)(k-1)(k+2)=0
{Sk+1-(k-1)k}{Sk+1-(k+1)(k+2)}=0
各項が正なので Sk+1>Sk=k(k+1)であ
り
an=Sn-Sn-1
=n(n+1)-(n-1)n
20
(2) 求める
=12+2+..+-
Sk+1=(k+1)(k+2)
となり,n=k+1 のときも(**)は成り
立つ.
134-1 (1) 第k項はんなので,
1
k²=20.21・41=2870
(1+2+..+2
(I), (II)より, すべてのnについて (**)
は成り立つ .
n≧2のとき
k=1 6
=12+2+..+
ここで、(1)の
(1+2+·
より
=2n
この結果は n=1のときも成り立つ.
よって, an=2n
+21・2+1.7
44100=
よって,S=
(3) 求め
(1+2+..
=(13+2+
ここで、
13+2°+
21
よって
134-2
k≧2
ak=
この
b1=
k²

hるみのとき
S₁ = 2 S₂=6 S₂ = 1207
ht
Sn = 2 + √√2n+2
12:1
= n²+n
An= 5n-{n-1
24

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

mi-

anの部分をa1、a2から予測して解いたということですね？
確かにあってはいますがその予測が正しいことを示さないといけません。となると帰納法は必要ですね。
anを〜と予測する。以下それが正しいことを昨日法で証明する。というような書き出しがいいかもしれません。

らむ

なるほど。わかりました！ありがとうございます