Question

あいり

この問題の方針に「接線が引ける＝接点が存在する」と書いてありますが、自分は、この接線の方程式を立ててからこの曲線と＝の式を作り、その方程式が実数解を持つ条件D≧0から求めようとしたのですが、何が間違っているのかわかりません、
言ってることわからなかったらすみません

I
基本 例題 169 曲線に接線が引けるための条件
00000
曲線 y=ex , 点 (α, 0) から接線が引けるような定数aの値の範囲を求めよ。
基本164
重要 199
指針e-x>0 であるから, 点 (α, 0) は曲線 y=ex 上にない。 そこで, p.280 基本例題 164 と
同様に,次の方針で進める。
① 接点の座標を(t, f(t)) として,接線の方程式を求める。
y-f(t)=f'(t)(x-t)
②2
接線が点(a,0)を通る条件から,t の2次方程式を導く。
③②の2次方程式が実数解をもつ条件 (判別式 D≧0) を利用。
接線が引ける接点が存在する
10724
CHART 共有点⇔実数解
解答
y=exから
y'=-2xex2
接点の座標を(t, e-t) とすると,接線の方程式は
y-e-t²=-2te-t²(x-t)
この直線が点(a,0)を通るとすると
-e-t²=-2te-t (a-t)
両辺をe-t (≠0) で割って
-1=-2t(a-t) Re
①
整理して
2t2-2at+1=0
接線が引けるための条件は, t についての2次方程式 ① が実数
解をもつことである。
ゆえに、 ①の判別式をDとすると
って
したがって
D=(-α)²-2.1=(a+√2)(a-√2)
4
D≧0
(a+√2)(a-√2) 20
a≦√2,√2≦a
2次方程式x²+qx+r=0
が実数解をもつ
285
(*)をy=x+■の形に
直してから x=a, y = 0 を
代入するよりも(*)に直
接代入する方が早い。
でt=
考] 上の例題の曲線 y=e-x" の接線については,接点が異なれば接
線も異なる(接点を2個以上もつ接線は存在しない)。つまり, 2次
方程式 ① の実数解の個数は曲線 y=ex の点(α, 0) を通る接線
の本数 (接点の個数) と一致する。
なお､
の理由については,y=ex のグラフの概形(右図)からも
確認することができるが, グラフの概形を図示する方法は後で学ぶ
内容 (p.316 基本例題187) のため、ここでは省略する。
6章
q²-4pr≥0
接点のx座標t ① の解
a±√a²-2
2
0
23
3 接線と法線
y=e=x²
x
αの値の範囲を求めよ。

微分

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

けい

またいつでも聞いてください！

あいり

なるほど！何を求めようとしていたのか、また何を求めるべきなのか明確になりました。
ありがとうございます🙇‍♀️

Answer 2

おひさま

　あいりさんがやっていることは、間違っていないと思います。しかし、あいりさんが理系志望であるならば、接線を置く方法はおすすめしません。数IIIでそのやり方は不可能になるときがあるからです。その為、解答のように接点をおいて求める方法をおすすめします。また、その方が計算が楽です。

あいり

ありがとうございます！
とても参考になりました🙇‍♀️