Question

ぴいぴい

高一整数の証明の単元です。
この問題の証明方法が分かりません。どなたか解答解説いただけるととても助かります。よろしくお願いします。

背理法による証明 ≫
095
次のことを証明せよ。
+
(1) n を整数とするとき, n2+n+1が3の倍数ならば, nは3で割ると1余る。
□ (2) a,b を整数とするとき, d' + 62 が3の倍数ならば, a,bはともに3の倍数である。

証明 整数

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

数学にわか

こんにちは！
簡単な解説を添付いたしましたのでご確認ください。
分からない部分、読めない部分等ありましたら遠慮なく仰ってください🙇‍♂️

(1)は背理法で示しましたが、正直(2)のような書き方でも問題ないと思います！

ぴいぴい

ありがとうございます 😭助かりました

Answer 2

あ

(1)対偶を証明する。
nを整数とするとき、nが3の倍数または3で割ると2余る数ならばn²+n+1が3の倍数ではないことを証明する。
(ⅰ)nが3の倍数のとき
整数kを用いて、n=3kとおくと
n²+n+1=9k²+3k+1=3(3k²+k)+1
よってn²+n+1は3の倍数ではない。
(ⅱ)nが3で割ると2余る数のとき
整数k'を用いて、n=3k'+2とおくと
n²+n+1=9k'²+12k'+4+3k'+2+1=9k'²+15k'+7=3(3k'²+5k'+2)+1
よってn²+n+1は3の倍数ではない。
以上(ⅰ)(ⅱ)よりnを整数とするとき、nが3の倍数または3で割ると2余る数ならばn²+n+1が3の倍数ではないことを証明できた。
対偶を示せたため、題意は示された。

(2)対偶を証明する
a,bを整数とするとき、a,bの少なくともどちらか一方が3の倍数でないならば、a²+b²は3の倍数ではないことを証明する。
(ⅰ)aが3の倍数であり、bが3の倍数でないとき
整数m,nを用いて
a=3m,b=3n±１と表せる。
このとき
a²+b²=9m²+9n²±6n+1=3(3m²+3n²±2n)+1
よってa²+b²は3の倍数ではない。
(ⅱ)aが3の倍数でなく、bが３の倍数であるとき
(ⅰ)と同様に考えると
a²+b²は3の倍数ではないことを示せた。
(ⅲ)a,bがともに3の倍数でないとき、
整数m,nを用いてa=3m±1,b=3n±1と表せる。
このとき
a²+b²=9m²±6m+1+9n²±6n+1=3(3m²+3n²±2m±2n)+2
よってa²+b²は3の倍数ではない。
以上(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)よりa,bを整数とするとき、a,bの少なくともどちらか一方が3の倍数でないならば、a²+b²は3の倍数ではないことを証明できた。
対偶を示せたため、題意は示された。