Question

ゆる

カがわかりません。
解説に細かく書いてなくてどうしてそうなったのかがわかりません。
問題文が長くて本当に申し訳ないのですがどなたかよろしくお願いします🙇‍♀️

60
難易度★★★
a を実数の定数とする。 0 の方程式 2+sinQ=a+cos20
..... ①がある。
sind=t とおく。 方程式 ①をt を用いて表すと
+t+
-a=0
②となる。
(1)
問題
002 における方程式 ①を満たす 0 が存在するようなαの値の範囲を求めよ。
この問題について、太郎さんと花子さんが先生と会話をしている。
太郎: tの方程式 ②が実数解をもつようなαの値の範囲は,a ≧
ウ
I
ですね。
先生:そうだね。
花子: すると この問題の解答はa≧
ウ ですね。
......
エ
先生:そうかな。 例えば, α = 7 は a≧
を満たす 0は存在しないよ。
ウ
エ
を満たすけれど, 方程式 2+sin0=7+cos
では, sind=t と置き換えた新しい変数t の変域を押さえていない。 a≧
を満たすとき,0≦<2において方程式 ①を満たす 0 は存在する。
ウ
かつ
エ
オ
の解答群
-1≤t
① t≦1
(2)
-1≤t≤1
t≦-1, 1st
水の0が存在しない理由は
①
である。
については,最も適当なものを、次の①~③のうちから一つ選べ。
ウ
a
エ
のときだけ方程式 ①を満たす 0 が存在するから
ウ
a≥
エ
ウ
a≥
エ
は方程式①を満たす0が存在するための必要条件であるが,十分条件でないか
は -1≦t≦1 における方程式 ②が実数解をもつようなαの値の範囲であるか
ウ
a≥
エ
は 0≦t≦1 における方程式 ②が実数解をもつようなαの値の範囲であるか
問題において, 求めるαの値の範囲は
キ
mam
ケ である。
ク

30
9
数
三角関数を含む方程式の解の個数
(1)
を実数の定数とする。 0 の方程式 2+sin0a+cos2 0 ······ ① がある。
sind=t とおく。 方程式①をを用いて表すと
図
+1+
「問題
-q=0 ······② となる。
002 における方程式 ①を満たす 0 が存在するようなαの値の範囲を求めよ。
この問題について,太郎さんと花子さんが先生と会話をしている。
太郎の方程式 ② が実数解をもつようなαの値の範囲は,
先生:そうだね。
ウ
az
ですね。
花子 すると、この問題の解答は
ウ
ですね。 ......
H
先生:そうかな。 例えば, a=7 は
ウ
を満たすけれど、 方程式 2+sin0=7+cos20
を満たす 0は存在しないよ。 ...... 水
(中略)
木の日が存在しない理由は
カ である。
カについては、最も適当なものを、次の①~③のうちから一つ選べ。
C
ウ
a=
エ
のときだけ方程式 ①を満たす 0 が存在するから
ウ
a2
ウ
az
ウ
3 az
は方程式 ①を満たす 0 が存在するための必要条件であるが, 十分条件でないから
は-1St≦1 における方程式 ②が実数解をもつようなαの値の範囲であるから
は Osts における方程式 ②が実数解をもつようなαの値の範囲であるから
こう解く!
STEP 数学的な表現を理解しよう
選択肢の数学的な表現を理解
し 0 が存在しない理由とし
て正しいものを考える。 sin
のとり得る値の範囲に着目し
て考える。
②を満たす実数t が存在する
①を満たすのが存在する
問題において 求めるαの値の範囲は
Sasケである。
(2)002 における方程式 ①を満たす0の個数を調べよう。
(1)より,<
またはケ <α のとき, 方程式 ① を満たす 0 の個数は0個である。
を満たすの値一つに対して, 0は2個存在し,サ を満たすtの値一つに対して, 0 は
1個存在する。
[サ]については、最も適当なものを、次の①~④のうちから一つずつ選べ。ただし、
同じものを繰り返し選んでもよい。
t=-1, 0
① t = 0,1 ② t = ±1
(以下略)
③ 1 <t<1
④ 1sts
STEP グラフや単位円を利用しよう
2tの値に対する 0 の個数を考
えるとき, t = sin0 のグラフ,
または、単位円を利用して考
える。
解答
10の方程式 2+ sin0=a+cos' 0 ･･････ ①を変形すると
2+sin0a+1-sin20
sin20+ sin0+1-α = 0
......②
sing=t とおくと+1+1-a=0...
」 2
(1) tの方程式②の判別式をDとすると, D=12-4.1 (1-a)=4a-3 で
あり ②が実数解をもつとき,D≧0 であるから
3
72号は [7-2/23 または7> 2
4-3≧0 より
1日12
A
4
このときは
A
を満たす。
109-
という意味なので正しい。

また、7を②に代入すると
t²+t-6=0
1-3, 2
(+3)(1-2)0
sin0 = -3.2
002より, -1sin01 であるから,このような0は存在しない。
では, sind=t と置き換えた新しい変数の変域を押さえていない。
an [かつが1SIS1 (②)を満たすとき, 002において
a≥
方程式 ①を満たす 0 は存在する。
のが存在しない理由は
は方程式 ①を満たす 0 が存在する
･･･
y = +1+1 ③ のグラフと直線 y=a
を求めたいための必要条件であるが,十分条件でないから (①) である。
からのこにした方程式 ②を+1+1=gと変形する。
YA
③
3
の共有点の座標が②の解である。
3
③はy=t+
(12/2)+2/27より,グラフは右の図
1
y=a
のようになる。
3
4
-1 t≦1 における③のグラフと直線
y=a が共有点をもつときを考えて 求める
-1
1
0
1
2
の値の範囲は sass
3
ing=t
4
2
(2)t=sin0 であるから, 0≦0 <2πにおいてはB
コ
1 <t<1 (③) を満たすtの値1つに対して, 0 は2個存在し
1
サ
t=±1 (②) を満たすの値1つに対して, 0は1個存在する。
よって、 方程式 ①を満たすの個数が最大となるのは,
亅1
1 << 1 の範囲にtが2つ存在し, それぞれに対して0が2個存
在するときである。 C
方程式① を満たす 0 の個数が最大となるのは、上の図において, -1<t<1
における③のグラフと直線 y=α が2つの共有点をもつときを考えて
tz
ソ
求めるαの値の範囲は
<a< 1 10.
ス
4
チ
このときの個数は2×2=4(個) である。
Point
Point
三角関数を含む方程式の解の個数は, t = sin0 のように置き換えて
得られるtの方程式の解の個数の問題に帰着させることが多い。 すな
わち,0の個数を考えるために, まずの個数を考えるのである。 そ
しての個数がわかったらの値によって0の個数が変わることに注
意しての個数を求める。
本間で、他の状況のときを考えておくと、次のようになる。
3
a
のときは1個でその値は であるから, 0は2個
=1のときは2個でその値は1と0であるから, 0は3個
1 <a<3のときは1個でその値は0より大きく1より小さい
から 0は2個
3のときは1個でその値は1であるから, 0は1個
J2

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

しゅわっちい

判別式から出したa≧ウ/エ(以下、条件Pと表す)は、方程式①が実数解を持つための条件ですが、それは変数t(sinθ)が全ての実数を取ると考えた場合の話です。そもそもtは－1から1までの範囲しか取らないですよね。
なので答えは
ウ/エ≦a≦1(以下、条件Qと表す)となる。
ここで、条件PとQの包括関係は写真の通り。
でかい方が必要条件、その必要条件にすっぽり入っている条件が十分条件です。

しゅわっちい

写真です

ゆる

解説ありがとうございました🙇‍♀️返信が遅くなってしまい本当にすみません🙇‍♀️すごく納得できました！！二つの範囲を合わして考えるんですね！！解説を読んでも全くわからなかったけどしゅわっちいさんのおかげで納得できました！！本当にありがとうございました🙇‍♀️