Question

彩陽(IROHA)

この問題を解いたのですが、答えが最大値90,最小値9/5とのことです。
どこで計算を間違えているのか分かりません。計算のプロセスを教えてください。

1 実数x, y が2≦x≦2,-1≦1 を満たすとき,f(x,y)=(x+2y+3)2 +(x-4y+3)2
の最大値、最小値を求めよ。

f(x)=(x++*+314(x-47+3)
プチ9+xy+12g+6x)+(x+16y+9-Pxy-24y+bx)
=(2x+20g×4xy-12g+12x+18.
=2(x-2y+6才)+20-12y+18
-2(4-362
=2{(x-y+3)-(-y+3)}+20g-12g+18
2(x-y+3)+20-124+18
a=xy+3とおくと
120+1g2
-2x284 12y sa ≤ 5-y
一しょり
+3
08086
よってaの範囲から
最大値: a=のときで
A(21-1)=2,6418(-16=90
最小値 acoのとき
AC-21)=2.0+18.10-18

最大値 最小値 関数 2次関数

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

やさしいスライム

これはいい難易度の問題ですね。円の方程式知っていれば瞬殺ですが…二次関数で解説しましょう
まず複雑な式は展開する際は工夫してください！
今回はx+3が共通ですのでAとおきます
f＝(A+2y)²+(A−4y)²
※1≦A≦5←範囲に注意⚠️
式を変形して
f＝2(A−y)²+18y²←yはただの係数として見て
縦軸をf、横軸をAとして考えましょう
頂点は(y、18y²)
後は写真で貼ってるようにグラフを描こう！
A軸は1〜5の範囲だが
頂点のyはA軸の−1〜1の範囲ですね！
つまりA＝1の時最小、A＝5の時最大
【最大値を求める】
A＝5だから
f＝2(5−y)²+18y²＝20(y−1/2)²+45　頂点(1/2,45)
−1≦y≦1だからy＝−1の時最大値90
【最小値を求める】
A＝1だなら
f＝2(1−y)²+18y²＝20(y−1/10)²+9/5 頂点(1/10,9/5)
−1≦y≦1だからy＝1/10の時最小値9/5

答えをまとめると
x＝2.y＝−1の時最大値90
x＝−2.y＝1/10の時最小値9/5

今回の問題が置換が肝です！
置換後に範囲の再設定をやることも忘れずに！

彩陽(IROHA)

できました！！ありがとうございます！
ちなみに、円の方程式を活用する方法はどのように解くのですか？よろしければ教えてください🙏

やさしいスライム

ごめんなさい！！めっちゃ間違ってました！
円では解けません！！

Answer 2

きらうる

上から5行目の
2{(x-y+3)²-(-y+3)²}+20y²-12y+18
から6行目にかけて、(-y+3)²が消えてないですか？

彩陽(IROHA)

本当だ!?すみません、書き忘れていました💦
しかし、直して計算したのですが、やはり最小値が答えと合いません。
求め方を教えていただきたいです🙏

きらうる

やさしいスライムさんの解答で解決できるかと思いますが、2変数関数においては、1つの文字は固定して(やさしいスライムさんの場合ならyを固定)、xの関数とみて、範囲内の頂点(yの値)の範囲から最大最小を求める方法が近道かと思います。