Question

May3

10の質問です
どうしてそのまま割り算しては行けないのかわからないです

125
関西学院大]
12 f
x,y,zが x-2y+z=4 および 2x+y-3z=-7 を満たすとき,
なるように定数A, B, Cの値を定めよ。
51
XX
7
8
ax2+2by2+3cz=18 が常に成立するような定数a, b, c の値を求めよ。
[10 西南学院大〕
13
Xoxの多項式 4x-2x9x+7 をxの多項式Aで割ると、その商がBで余りが
x+1 となる。また,AとBの和は2x2+4x-5 である。このとき,AとBを求
[岩手大〕
めよ。
nを2以上の整数とする。整数 (n-1)を整数n-2n+2 で割ったときの
商と余りを求めよ。
〔20 関西大〕
*11 x についての整式P(x) は, (x+1)2で割ると -x+4 余り (x-1)で割る
と 2x+5 余るとする。
6
(1) P(x) を (x+1)(x-1) で割ったときの余りを求めよ。
YP(x) を (x+1)(x-1)2で割ったときの余りを求めよ。
Ⅰ 数と式
[19 宮崎大〕

3
■られる等式
10 多項式の割り算と整数の割り算
出題テーマと考え方
1)+C(x+
私立大標準レベル
整数の割り算における商と余りの決定
=2C
2,それぞれ
m
5|25|2
+
+
15
(x+1)
5
整数の割り算では、余りが0以上の整数である
ことに注意する。
(例)27を10で割るとき, 0(余り) <10である。
27=10×3-3 ←余りが負
27=10×2+7 ←商を1つ下げて余りを正に
nは2以上の整数であるから
n2-2n+2=(n-1)+1>0
Jei
よって、 整数 (n-1)を整数n2-2n+2で割ったと
きの商をα, 余りをすると
が成り立つ。
よって
角
P(1)=
(1) P(x) を (x+1)
余りを ax + bと
P(x)=(x+
P(-
ゆえに
①③から
これを解くと
したがって, 求
(2) P(x) を (x+
余りをR(x) と
P(x)=(x-
(0
(n-1)=an2-2n+2)+6\......
(x+1)(x-1)2c
と表される。
ある。
52
ただし≤b2+2
16らない
P(x) を (x-1
(x-1)2で割
15
すると
2c-18=0
条件は
_2c-18=0
これを満たす整数a, b を求めればよい。
(n-1)3,n2-2n+2をnの多項式とみて割り算をす
ると
(n-1)(n-2h+2)
(n-1)=(n-1)n-2n+2)-n+14... ③
このとき,余りn+1について,は2以上の整数
より, -n+1<0であるから, ②を満たさない。
ここで,③から22)
(n-1)3=(n-2)(n2-2n+2)+(n2-2n+2)-n+1
すなわち
(n-1)=(n-2)(n2-2n+2)+n-3n+3
n2-3n+3は整数であり,その正負は
n²-3n+3=(n-2)²+>0
P(x) は (x-1
R(x)=
と表される。
P(x)=(
よって
①から
よって
別解P(x
Q4(x),
マと考え方
また,割る数 n2-2n+2との大小を考えると, n
は2以上の整数であるから
ると P
(n2-2n+2)-(n2-3n+3)=n-1>0
2次式で
D
よって, a=n-2,b=n2-3n+ 3 は ① ② を満た
す。
この両
P'(x)
したがって, 求める商と余りは, それぞれn-2,
多項式
n2-3n+3である。
の両
3次式で
11 割り算の問題人
P'(x
出題テーマと考え方
よって
とBの和
国公立大標準レベル
余りの決定
→
(2)
なる。
P(x)=(x+1)(x-1)2Q(x)+ax2+bx+c
とおいて、剰余の定理を用いるだけでは,答えは
得られない。 余り ax2+bx+cの形を,さらに
絞って考える。
5, 6
P(1)=
C
これを
よっ
基本問題 7

Answer 1

かき

普通に整式として割り算すると③のようになり、あまりが -n+1 となりますが、そのあまりはマイナスです。
問題は、整数同士の割り算なので、余りは正(またはゼロ)である必要があります。

だから、解答のように、商を一つ減らして、n-1 → n-2 にし、余りのほうに、n^2 -n ＋ 2 を加えて正かどうか評価しています。

Answer 2

希

今回の問題に関してはそのまま割り算してもよいです。

ですが、もっと次数が大きくなった場合、そのまま割り算するよりも、模範解答のような解き方のほうが効率的に解けます。

正直、(n-1)³を展開してそのまま割ったほうが早いです。ですが、模範解答のようなやり方も応用のためには慣れておいたほうがいいという意味でそのような解答になっているのだと思います。