✨ ベストアンサー ✨
(1)a,bどちらも奇数とする。
a＝2n+1
b＝2m+1
a^2+b^2＝c^2より
(2n+1)^2+(2m+1)^2＝c^2
4(n^2+m^2+n+m)+2＝c^2・・・①
全ての自然数kについて
k^2を4で割った余りについて
kは奇数又は偶数なので
k＝2pのとき
k^2＝4p^2→4で割ると余り0
k＝2q+1のとき
k^2＝4(q^2+q)+1→4で割ると余り1
よって全ての自然数についての平方数を4で割った余りは0または1
これは①は余りが2のため矛盾
aとbの少なくとも一方は2の倍数である。
(2)a＝2p,b＝2q+1とおいても一般性は変わらない。
aが4の倍数の時、abは4の倍数になるからaは4の倍数でないとする。
まず奇数の二乗を8で割った時の余りを示す。
(2m+1)^2=4m^2+4m+1=4m(m+1)+1
m,m+1の連続する数は一方が奇数なので
奇数の二乗を8で割ると余りは1
aは2×奇数より
a^2＝{2(2k+1)}^2＝8(2k^2+2k)+4
a^2+b^2を8で割ると余りは1+4で5となる。
左辺の余りが5で右辺が1より矛盾
abは4の倍数
(2)どちらも偶数の場合を忘れてました。
偶数の2乗は4の倍数だから自明ですね。
ありがとうございます!!
ありがとうございます!!