Question

waraya

この解き方であっているのでしょうか？

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

gößt

(1)はいいと思います

(2)ですが、実数x, y, zが三次方程式
α³-3α-p=0
の３つの解になるということは、この方程式は実数解を３つもたなければなりません。なのでpは全ての実数を取りうるわけではないです

waraya

どういう風に解いていけば良いのでしょうか？

gößt

α³-3α-p=0 ⋯ (#)
とおきます

グラフ描いて交点を調べる方針はよいです。曲線y=f(α)と直線y=pの交わり方は
①異なる三点で交わる
②異なる二点で交わる(接している)
③一点で交わる
の3パターンがありますが、①は文句なくOKです。②の場合(#)の実数解が二個しかないように思えるかもしれませんが、片方の共有点で接しているため(#)は重解ともう１つの解をもち、重複をこめて３つの実数解をもちます。③の場合は接してもいないため実数解は１つだけですね。よってpの条件は
(f(α)の極小値) ≦ p ≦ (f(α)の極大値)
です

waraya

出来ましたありがとうございます！

waraya

でも今度は⑶が全く分かりません！
何かヒントを頂けますか？

gößt

曲線y=f(α)と直線y=pとの交点のx座標がx, y, zなわけですから、x≦y≦zならば３つの交点を左からP,Q,RとしたときのPのx座標の取りうる値を考えましょう

gößt

x座標というよりα座標ですね

waraya

すみません！
全然分かりません！

waraya

あっ⑶がです！笑

gößt

図のような感じです。二曲線の交点のうち、一番左側の点のα座標がxになります。直線y=pを上下に動かしてみて、xがどこからどこまで動くか考えてみてください

waraya

理解しました！
ありがとうございます！

waraya

出来ましたありがとうございます！

gößt

よかったです

waraya

ⅱからよくわかりません
教えて頂けませんか？

gößt

(1)(ii)
InとI₁をグラフ上に表してみると画像のようになります。そこで、画像のようにInの積分区間を平行移動して[0,π]にすることでI₁に近づけていく、というのが基本方針になります

t=x-(n-1)π とおくと、
In＝∫[(n-1)π, nπ]e^(-x)|sinx|dx
＝∫[0,π]e^{-(t+(n-1)π)}|sin(t+(n-1)π)|dt
あとは、
|sin(t+(n-1)π)|＝|sintcos{(n-1)π}|
＝|sint•(-1)ⁿ⁻¹|
＝|sint|
などを利用すれば答えが得られると思います

一応補足しておきますと、
cos{(n-1)π}＝(-1)ⁿ⁻¹
の部分は具体的にnに1から代入していくことでわかると思います

gößt

(2)
∞
(与式)＝Σ In
n=1
なので(1)(ii)を使えばいいですね

waraya

分かりました
ありがとうございます！

waraya

ひとつ質問なんですけど
なんでx=t-(n-1)πと置いたのですか？

gößt

Inを平行移動してI₁に重ねるためです。つまり、Inの積分区間[(n-1)π, nπ]を[0,π]にするために、xから(n-1)πを引きました

waraya

あーなるほど
ありがとうございます！