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求めるベクトルをベクトルpとして、
ベクトルp=（a,b,c）とおく。
ベクトルpはベクトルa,bと、それぞれ垂直なので、
垂直⇔内積=0
ベクトルpとベクトルaの内積
2a+3b+c=0…①
ベクトルpとベクトルbの内積
-a+2b+3c=0…②
ベクトルpの大きさは1なので
a²+b²+c²=1…③
2a+3b+c=0…①
-a+2b+3c=0…②より
①+②✕2
2a+3b+c=0…①
-2a+4b+6c=0…②
7b+7c=0
c=-b…③
①×3-②
6a+9b+3c=0…①
-a+2b+3c=0…②
7a+7b=0
a=-b
それぞれ③に代入して整理すると
a²+b²+c²=1
=（-b）²+b²+（-b）²
3b²=1
b=±√3/3
よって、
求めるベクトルpは
（a,b,c）=（√3/3, -√3/3, √3/3）または
（-√3/3,√3/3, -√3/3）
とても分かりやすかったです！ありがとうございます。