回答
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解決しているようですが、元々の質問である判別式で解けるかどうかについて回答がなかったので書いておきますね。前半部分であれば判別式でもちゃんと解けます
(解)
点P(x,y)が動く範囲は
x²+y²＝2 ⋯ ①
このとき、√3x+y=k とおいて①の式からyを消去すると、
x²+(k-√3x)²＝2
4x²-2√3kx+(k²-2)＝0
これを満たす実数xが存在しなければならないので、判別式をDとすれば
D＝12k²-4×4(k²-2)≧0
-4k²+32≧0
k²≦8
-2√2≦k≦2√2
よってkの最小値は -2√2
ありがとうございます！！
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