✨ ベストアンサー ✨
文字が3つもあって嫌だなというのが第一印象だと思います. 自分たちが知っている因数分解は2つの文字式まで.
どうすれば自分の知っている形に出来るか?というのが解法糸口になります.
文字を一つ固定すれば, 残りは2つの文字式になるので何とかなりそうです. aを固定して整理しましょう.
(1)abc+ab+bc+ca+a+b+c+1=a(bc+b+c+1)+(bc+b+c+1) [aで括って残りのb,cに関する項を因数分解しよう]
=(a+1)(bc+b+c+1) [bc+b+c+1が共通因数なので括ります]
=(a+1)(b+1)(c+1) [因数分解できました. bで括って共通因数を作るという手でもいいです.]
(2)(b+c)a^2+(c+a)b^2+(a+b)c^2+2abc
=(b+c)a^2+(b^2+2bc+c^2)a+(b^2+bc^2) [aについて括るのですが, 次数が2次なので各次数ごとに整理します]
=(b+c)a^2+(b+c)^2a+bc(b+c) [整理します. b+cが共通因数なので]
=(b+c){a^2+(b+c)a+bc} [これなら因数分解できますよね]
=(b+c)(a+b)(a+c)
=(a+b)(b+c)(c+a) [綺麗な形にします]
***
[発展]
a, b, cを入れ替えても式の形は変わりません. こういう式を対称式といいます.
対称式の場合は1文字固定の方法は非常に有効です.
因数定理を習っていれば次のような解き方が出来ます.
習っていなければ( ..)φﾒﾓﾒﾓして学習後にもう一度読み返してください.
ただ数学が苦手な人だと理解するのに時間がかかると思います...
f(a,b,c)=abc+ab+bc+ca+a+b+c+1とする.
f(-1,b,c)=-bc-b+bc-a+a+b+c+1=0なのでf(a,b,c)は(a+1)で割り切れる.
a,b,cを入れ替えてもf(a,b,c)は対称なのでf(a,b,c)は(b+1)と(c+1)を因数にもつ.
したがってabc+ab+bc+ca+a+b+c+1=(a+1)(b+1)(c+1)
g(a,b,c)=(b+c)a^2+(c+a)b^2+(a+b)c^2+2abcとする.
g(-b,b,c)=(b+c)b^2+(c-b)b^2-2b^2c=b^2(b+c-c)+b(bc-b^2-bc)=b^3-b^3=0
なのでg(a,b,c)はa+bを因数にもつ.
a,b,cを入れ替えてもg(a,b,c)は対称なのでg(a,b,c)は(b+c)と(c+a)を因数にもつ.
以上より(b+c)a^2+(c+a)b^2+(a+b)c^2+2abc=(a+b)(b+c)(c+a)
丁寧にありがとうございました！
お陰様で解けました！