Question

ゲスト

この解き方であっているかどうか、この先どのようにして解くのか教えてください！！

52 (補則) 平面と直線の交点の位置ベクトルニテ
3直4(② 0. の, B(0⑩. 1. 0 CO。 0, 一2 が定める平面@に原京O から六線OH を
ろす。 談 本 の座標を求めよ。     、

月-6、9.5)・1s:

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Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

LUX SIT

直線OHと平面αの直交性をどう表すのかが残された問題です.
平面αは平面α上にある"平行ではない"2つのベクトルで表現できるので
OH・AB=0, OH・AC=0[AB,ACだけではなくBA, BCやCA, CBのような選び方もOK]
の2つの関係式[垂直⇔内積が0]があれば, s,tを求めるには十分, という判断を出来たのかが鍵になります.
***
点Hは3点A, B, Cのある平面α上にあるので, s, tを適当な実数として
OH=sOA+tOB+(1-s-t)OC [こう書くことで変数を減らすことが出来る]
と表すことが出来る.
また点Hは原点Oから平面αへ下した垂線の足なので
OH・AB=0⇔OH・OA=OH・OB, OH・AC=0⇔OH・OA=OH・OC, すなわちOH・OA=OH・OB=OH・OC
ここで
OH・OA=s|OA|^2+tOA・OB+(1-s-t)OA・OC=4s [OA・OB=OB・OC=OC・OA=0が効いているので計算は楽.]
同様に
OH・OB=t|OB|^2=t, OH・OC=(1-s-t)|OC|^2=4(1-s-t)
以上より
4s=t=4(1-s-t)⇔s=1/6, t=2/3
なので
OH=(1/6)OA+(2/3)OB+(1/6)OC=(1/3,2/3,-1/3)
と表せることが分かった. 点Hの座標は(1/3,2/3,-1/3)である.
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平面αの方程式に着目して解くこともできます.
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3点A, B, Cを通る平面αの方程式はx+2y-z=2[単純な座標なので思いつける. 外積の知識があれば一般の場合でも解けるが...]
原点Oと平面αの距離がOHなので|OH|=|0+2*0-0-2|/√(1^2+2^2+(-1)^2)=2/√6
ベクトルOHは平面αの法線ベクトルと平行なのでOH=(2/√6)(1/√6, 2/√6, -1/√6)=(1/3,2/3,-1/3)
すなわち点Hの座標は(1/3,2/3,-1/3)