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対応する個数の問題ですね、しっかり理解してもう一度丁寧に考えましょう。
もともとの方程式はθの方程式。θ方程式なんてよくわからない、なので、cosθ=tとするとtの二次方程式となるからこれなら解ける。ここまでは多分大丈夫だと思う。
この問題で超大事なことは、tとθ対応関係というやつ。cosθ=tをよく見てみる。例えばt=1/2となるθは？という問題を考える。これはθ=π/3、5π/3。同様にt=√3/2となるθは？θ=π/6、5π/6。
このようにtを1つ決めたら、θは2つある。これがtとθの対応関係。画像上部の単位円の左側の意味してるところ。
でも、いつもtとθが1対2で対応するわけではない。t=1ではθ=0、-1ならθ=π。このときのtではθと1対1で対応する。これが画像上部右側の単位円の意味してるところ。
とすると、異なる解2個はθが2つになるtが1つに決まるところじゃないとだめ。tが2つあったら、その分θは2つ2つの計4つなっちゃう。
ということでtが1つに決まる、y=kとの共有点が1つとなるようにkをとる必要がある。
おおおすごくわかりやすいです
ありがとうございました！