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積分範囲にxが入っているタイプの積分方程式は、基本的に
①xで微分
②xに適当な値を入れて∫を消す
の２つを駆使して解きます。上の方のように地道に積分計算しても解けますが①と②だけで済ます方が見通しがいいと思います。今回は②から始めるのが簡単そうです
(解)
積分方程式の両辺にx=aを代入すると
0＝a²-2a-3
a＝-1, 3
また、積分方程式の両辺をxで微分すると
g(x)+xg(a)＝2x-2
(i)a=-1 のとき
g(x)+g(-1)x＝2x-2
両辺にx=-1を代入すると
g(-1)-g(-1)＝-2-2
0＝-4
となり不適
(ii)a=3 のとき
g(x)+g(3)x＝2x-2
両辺にx=3を代入すると
g(3)+3g(3)＝4
g(3)＝1
このとき、
g(x)+x＝2x-2
g(x)＝x-2
となり確かにg(3)=1を満たしている
したがって、求める答えは
a＝3, g(x)＝x-2
いえいえ(｀・ω・´)
ありがとうございます！