✨ ベストアンサー ✨
群の区切り方はよく理解していると思います.
この数列のルールは1/m, 2/m,...,m-1/mが1群となっています.
第1群はm=2で2-1=1個, 第2群はm=3で3-1=2個, 帰納的に考えると第n群はn個ということになります.
***
(1)まずは第何群なのかを探りましょう.
1+2+3+4+5=15なのでa[15]は第5群の最後の数です. したがって(6-1)/6=5/6.
まず分母が8, m=8なのは第7群です. はじめて分母が8が現れるのは第6群のすぐ後ですから
(Σ[k=1->6]k)+1={6(6+1)/2}+1=22項目です.
***
(2)(1)を手掛かりに一般化していこうという問題です. センター本番でも出題者の誘導を読めるように注意しましょう.
1/kというのはm=kなので第(k-1)群にあって, その群の初項ということです.
第(k-2)群のすぐ後の項でもあるから
M[k]=(Σ[j=1->(k-2)]j)+1=[(k-2){(k-2)+1}/2]+1=(k^2-3k+4)/2=(1/2)k^2-(3/2)k+2
(k-1)/kは第(k-1)群にあって, その群の最後の項ということですから
N[k]=Σ[j=1->(k-1)]=(k-1){(k-1)+1}/2=(1/2)k^2-(1/2)k
とそれぞれ求まります[ここまで解くと(1)との関連が分かるでしょう.].
ここでM[15]=92, N[15]=105なので第104項目は第14群の第104-92+1=13項目であることが分かります.
したがってa[104]=13/15です. 15は不等式から導くよりも, 当たりをつけて見つけるほうが実践的だと思います.
***
(3)第(k-1)群の和を求めなさい, と言っているわけです. 分母は同じkなので下のように計算すれば十分です.
(1/k)(Σ[j=1->k-1]j)=(1/2)k-(1/2)
次に第1群から第(k-1)群までの和は求めるわけです. これは
Σ[j=2->k](j-1)/2=Σ[j=1->(k-1)]j/2=k(k-1)/4=(1/4)k^2-(1/4)
と計算できます.
本番だとk, 群とindexの対応が非常に混乱しやすいので, 初項1/2, 公差1/2の等差数列の和と見て素朴に計算してもいいです.
(2)の考察と(3)の結果から
Σ[n=1->103]a[n]=Σ[n=1->105]-a[104]-a[105]
={15*(15-1)/4}-(13/15)-(14/15)
=507/10
となります.
回答ありがとうございます😊参考にさせていただきます！
最後は
Σ[n=1->103]a[n]=Σ[n=1->105]a[n]-a[104]-a[105]
={15*(15-1)/4}-(13/15)-(14/15) [第105項は第14群(k=15)の最後だから余分なものを引いた.]
=507/10
ということです.