✨ ベストアンサー ✨
微分を知っていれば関数の増減を調べて解くという手があります.
ここでは知らないとしてやりましょう.
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関数f(x)=6x^4+19x^3+8x^2-2x-1を考えると, f(0)<0, f(1)>0なので間に解が少なくとも1つあることが分かります[中間値の定理].
最高次の係数が6, 定数項の係数が-1なので, 1/2, 1/3. 1/6あたりを調べてみます.
そうすると[ここは手探りです]f(1/3)=0. そしてf(-1/2)=0であることも計算途中に[符号を変えると上手くいきそうと]分かります.
因数定理からf(x)は(x-1/3)(x+1/2)を約数にもつことが分かります. 定数項が6なので6(x-1/3)(x+1/2)=(3x-1)(2x+1)とします.
f(x)を(3x-1)(2x+1)で割ると商は(x^2+3x+1)になります. したがって
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6x^4+19x^3+8x^2-2x-1=0
⇔(3x-1)(2x+1)(x^2+3x+1)=0
⇔x=-1/2, 1/3, (-3±√5)/2
と解は求まりました.
[訂正]定数項が6なので⇒最高次の係数が6なので
すべての係数が整数となるために, という考え方でもいいでしょう.