Question

成瀬

ずっとこの問題で手が止まったままです。
この問題の[3]の場合分けの部分について、詳しく解説をお願いします😭🙇🏼‍♂️
①なぜ突然n=5以上から、更に2つの場合に分けて考えているのか。(n=7以上でもn=11以上でも間違いでは無いはず)←？
②なぜn=3k＋1, n=3k＋2 なのか。
(3の倍数に1と2を足しても素数になるということ？)

変なことを聞いていると思います、
思いつく限り分からない原因を書いてみたつもりです。

教えてください…😭

あることを示せ。

指針[> ヵ が素数でない場合は条件を満たさない。 4ヵ, カキ2 ァす4の
ヵが素数の場合について, ヵ填2, 4の値を調べてみ ヵ |
ると右の表のようになり, ヵ, ヵ十2 ヵ十4 の中には必ず   カオ2
3 の倍数が含まれるらしい、ということがわかる。
よって, カー2, 3 のときは直接値を代入して条件を満た
すかどうかを調べ      以上の素数のときは,
ァカー3十1, 3ん十2 の場1     けて, 条件を満たさない, すなわち ヵ十2, ヵ二4 のどちゅ。
素数にならないことを示す, という方針で進める。                に

(GRY3基 内康の問題 いくつかの値で 小手調べ (実験) 一 規則性の発思

 

 

 

 

 

  

  
 

 

 

旧衝 答

ヵ が素数でない場合は, 明らかに条件を満たさない。        43 数のうち、ヵが数でが
ヵ が素数の場合について                        09

1] ヵー2 のとき, z十2=4 となり, 条件を満たさない。     4(王6) も素数でない。

 
 
 

[2] ヵニ3 のとき, 2一5,ヵ十4ニ7 で, 条件を満たす。

[3] ヵが5以上の素数のとき, ヵは3十1, 3十2 (をは自然  カー34 (の5) は素数に
数) のいずれかで表され                        ちないから, この場合は才
() ヵー3を1のとき 2ニ3を3=3(を+1)         2

を二1 は 2 以上の自然数であるから, ヵ十2 は素数にならず,| 4、.の断りは重要。 4+1

条件を満たさない。                        とすると, ヵ+2=3 (表
となるためこのように書

⑮⑬ カー3を十2 のとき  カ十4王3を二6=3(を填2)
ゝている [仙   同様]。
は 3 上の自村数であるか5. ヵ+4 は素芝にならず| 間
条件を満たさない。
以上から。 条件を満たすのはヵー3 の場合だけである。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

哲治

昨晩も質問されてた問題ですね。
つまり５以上の素数は当然に３の倍数ではないから、この２通りの形にしかならないということです。

哲治

そもそも、場合分けの意味を理解できてますか？

成瀬

昨晩も回答ありがとうございます。😭
色々と考え込んでしまい分からなくなってしまいました…。哲治さんの言う通り、「5以上の素数は3の倍数ではない」という事は分かりました。

しかし、「n=3kに1や2を足す」という発想はどこから来るのですか？
n=5以上の、n=5,7,11,13…のこれらの数字を見て、これらの数は3の倍数に1または2を足したらn(素数)になるな、という様に自分で見つけるしかないということですか？
それとも、「5以上の素数は、3の倍数に1か2を足したもの」という決まりがあるのでしょうか？

場合分けの意味も理解出来ていないと思います…。

成瀬

しつこくすみません😭

哲治

余りで分類するという考え方ですね。

哲治

そもそもnは自然数。
ある命題が「n=3でのみ成立」をいうなら」「n=3で成立」と「n=3以外で全て不成立」の両方を言わないといけないのですが、ここまで大丈夫ですか？

成瀬

はい、大丈夫です。

哲治

自然数といっても、無限にあるわけですから、一つずつ代入するわけにもいきません。
そこで、自然数をある数(ここでは３)で割った余りで分類しようという考え方ですね。
すると全ての自然数は
３k 3で割り切れる
3k+1 １余り
3k+2 2余り
の３種類に書き表せる。
ここまで大丈夫ですか？

成瀬

仮にk=2だとすると、
3k＋4だとしても答えは10になり
3の倍数(9)で割った時に余り1になるので
結局は3k＋1と同じ

同様に
3k＋11だとしても答えは17になり
3の倍数(15)で割った時に余り2になるので
結局は3k＋2と同じ

といったように、結局は3k, 3k＋1, 3k＋2
の3つに絞られる、いうことですか？

哲治

結局はというか、３で割って余りいくら、で分類です。
具体的な数字で考えるなら発想が逆です。
例えば１００なら=33•3+1
なんで余り1、3k+1の形
という考え方ですね。

成瀬

わかりました、

成瀬

すみません、
なぜ余り1と余り2の場合だけだと分かるのですか？

哲治

ここまでが準備で、このそれぞれで不成立を言いたいわけなんですね。
昨晩も説明しましたが、3k
は不成立でしたね。
残りの二つについてもテキストの説明のように不適となります。
後はn=3で成立を言えばいいわけですね。

哲治

3で割るからです。割る数より余りが大きいのはあり得ないでしょ。
そるだと、まだ割れるわけだから

成瀬

なるほど…！！！！✨
今やっと理解出来ました！😭

成瀬

長く付き合ってくださって本当にありがとうございました…！😭

哲治

ちなみに合同式だと記述はもっとすっきりするんですけどね。
ご理解いただけてよかったです。
問題のレベルも難しいですからね。

成瀬

合同式というのが使えるんですね🧐発展の部分に少し載っていたので見てみます！ありがとうございました🙇🏼‍♂️

哲治

これらのパターンはたいていmod3かmod5で分類して、表書いて終わりっていうパターンなんですよ。

成瀬

慣れたら簡単に使えそうですね…🤔
まだ習ってないんです😭

哲治

合同式は基礎ができてる人しか使えません。
道具としては簡単に解けますけど、概念としては難しいですからね。
成瀬さんは質問からするにまだまだ基礎ができてないので、
基礎レベルの問題に絞って反復練習するといいと思いますよ。

哲治

この問題自体も基礎レベルでは決してないので。

成瀬

なるほど！

そうですよね全然基礎が出来てないです…😰
基礎だけに絞って何度も練習してきます…！
哲治さんありがとうございます😭✨

哲治

よく青チャートの質問されてますよね。
あまり他人の問題集に口出しをするつもりはないですが、
もう少し簡単な問題集にするかですよね。
チャート好きなら、黄色とか白とか。
けっこう青チャートの解説読んでもわかりませんという質問をよくお見かけするので。

哲治

えらそうなこと言ってすいません(;ﾟロﾟ)。

成瀬

はい、すみません青チャートの常習犯です笑
とんでもないです！
学校で私達は必ずこの青チャート購入しなければならなくて、これは課題の1部として出されているんです…😓
個人的には黄チャートが良かったのですが、買うべきですかね？…(。_。) 哲治さんのお勧めの基礎レベルの問題集とかあったりしますか？

哲治

僕自身は旺文社の基礎問題精巧をただ反復練習してるだけですけど、この問題は余裕です。
だから他人にも旺文社しかすすめませんけど、参考書は自分のレベルに合ってることが１番重要だし、大前提なんですよ！
だから青チャートが半分も自力で解けないなら、僕がアドバイスするなら参考書変えた方がいいとは思いますよ。

哲治

おそらく解説読んでもわからないなら、白から始めるのがいいですよ。

哲治

僕個人の感覚では自力で半分以下しか解けない参考書では勉強すべきではないと思ってます。
レベルが全然合ってないので。

成瀬

旺文社の基礎問題精巧ですね！🙏
今度本屋に行って、白チャートと両方じっくり見てこようと思います。
本当に色々と詳しくありがとうございました😭🙇🏼‍♂️

哲治

本屋に行くなら入門問題精巧を見てください。
基礎問題精巧はあくまで二次試験レベルの基礎であって、簡単な問題は一つも入ってないので。
チャートと違って難易度で編集されてるので。

成瀬

入門まであるんですね。
基礎でも難しいなんて…😱
分かりました、見てきます。

哲治

ちなみに僕個人は本屋で実物みて、アマゾンで中古を安く買ってます！笑

成瀬

中古で売ってるんですか！！😳
それめっちゃいいですね、✨
1度本屋で見てから、哲治さん参考にさせて頂くかもです…笑🙏

Answer 2

ピタゴラス

問題文で既にnが3以外の素数の場合成り立たないことが提示されています。
なので、n≧5のときはまとめて証明したいと思うのが一般的な発想です。

n≧7、n≧11でも確かに間違いではないですが、それだと余計なスペースをとる可能性がありますので、まずはn≧5での証明を試みて、できなければ、n≧7の証明を考えた方が良いでしょう。

また、2つに分けている理由ですが、既にn≧5以上なので、全ての素数は3k+1、3k+2のたった2パターンで表せます、これより簡単な場合分けはないと思います。あとは、それぞれの場合で計算してみると3数のうちどれかは素数でなくなるので、証明終了といった感じですね。

または、実験をしてみると3数のうちどれかが3の倍数であることが分かるので、3k+1、3k+2で場合分けするのも自然な気がします。😀

成瀬

考え方の流れが分かりやすいです…
丁寧にありがとうございます！！！😭🙇🏼‍♂️