Question

リグ

整数です
教えて欲しいです

(3) すべての自然数 たに対し。
ag寺1(@寺2) (nM(UTnキ更生 記む)

は た2 の倍数であることを示せ。

Answer 1

toriniku

連続するn個の自然数の積はn!の倍数であることが既知なら一応解けそうですが…
n = 1のとき、
1 + n + n^2 + … + n^(k + 1) = 1 + 1 + 1 + … + 1 (1がk + 2個) = k + 2
よりk + 2の倍数である。
n > 1のとき、自然数mを用いてn = m + 1と書けるので、
(m + 1)(m + 2)(m + 3)…(m + k + 1){1 + (m + 1) + (m + 1)^2 + … + (m + 1)^(k + 1)}
がk + 2の倍数であることを導く。
1 + (m + 1) + (m + 1)^2 + … + (m + 1)^(k + 1)
= m + k + 2 + (m + 1)^2 + … + (m + 1)^(k + 1) - k
ここで、(m + 1)^2 + … + (m + 1)^(k + 1)の定数項(mを含まない項)を考えると、各べき乗から定数1が生じ、全部でk個の項があるので、定数項はkである。したがって、(m + 1)^2 + … + (m + 1)^(k + 1) - kを展開すると全ての項にmが含まれる（定数項がない）ので、mの多項式P(m)が存在して、
(m + 1)^2 + … + (m + 1)^(k + 1) - k = mP(m)
と書ける。
したがって、
(m + 1)(m + 2)(m + 3)…(m + k + 1){1 + (m + 1) + (m + 1)^2 + … + (m + 1)^(k + 1)}
= (m + 1)(m + 2)(m + 3)…(m + k + 1)(m + k + 2 + mP(m))
=(m + 1)(m + 2)(m + 3)…(m + k + 1)(m + k + 2) + m(m + 1)(m + 2)(m + 3)…(m + k + 1)P(m)
2つの項はそれぞれ連続するk + 2個の自然数の積を含むので、これは(k + 2)!の倍数であり、したがってk + 2の倍数である。
以上より導けた。

普通に間違ってるかもしれないです。つっこみよろしくおねがいします。