Question

葉

写真の⑵の問題で、Gがa’とb’の公約数になるということは分かるのですが、2枚目の解答のように、最大公約数になるというのがどうしてなのか分からないです。どなたか教えていただけると嬉しいです！よろしくお願いします🙇🙇

次の条件を満たす 2 つの自然数々, 5(g<5) を求めょ。
ヶZとめ5の和が42, 最大公約数が6

攻 gZと0の和が231, 最小公倍数が630

旬 と6の積が1050, 最小公倍数が210

226 國計還| 第7章 整数の性質

(⑫ gと5の和が231より, g+5三のCTがで  231.

                                                                                                                                                      

 

(〆二が)G=231     ① となる。また,    630 より.

のがG三630    ② となる。 ここで①, ②③より. では231 と ⑲の とのが互いに衣 であるな

680 の最大公約数であることがわかり。231王3X7X11      Hr tncs
の                          とある。

630=2x3?X5X7 より, G=ニ3X7ニ21 である。

よって, ①より, の十が=11    ③, ⑨②より,

のが30      ④ となるから, の と が が互いに素であること
との<がに注意し. ④ょり. (の. の=①. 30). (⑫. 15). 3 10.
(5. 6) を得るが, ③より, (の, の)=ニ(5, 6) となる。

よって, (q, め三(105, 126)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

HS

いま231=(a'+b')G、630=a'b'Gです。
また、右欄の事実から
a'+b'とa'b'は互いに素です。
よって、231と630の共通な要素としては
最大でGしかとれない。
だからGは最大公約数です。

葉

回答ありがとうございます。
もとの質問と少し逸れているかもしれないのですが、その231=aG,630=bG(aとbは互いに素)のときGが231と630の最大公約数になる、というのはそういうものとして覚えるのでしょうか？

HS

いえ、覚えるものではありません。
共通な因数をすべてくくったものである、
「互いに素」の意味そのものです。

30=2×3×5 と 42=2×3×7 では
5と7は互いに素で、
共通の2×3=6は30と42の最大公約数です。

同様に231=aG, 630=bGで
aとbは互いに素のとき、
共通のGは231と630の最大公約数です。

葉

例をみたら納得できました…！
aG,bGについて、Gが共通でa,bが互いに素ならば残るGはa,b以外の素因数の積つまり最大公約数、ということですね。分かりやすい解説をありがとうございました🙇