Question

M.S

この問題の(2)なのですが、解答に(解は1+iをもつので
x＝1+i、移項してxー1＝iとなり、両辺を二乗する…)といった操作があります。これは1+iと共役な複素数
1ーiも解に含まれるという解釈でよろしいのでしょうか？

複素数 1二: を 1 つの解とする実数係数の 3 次方程式
ィリoo?十Z-上c三0 に1①
について, 次の問いに答えよ.
(1) 、 の cをので表せ.
(2) ①の実数解をで表せ.
(3) 方程式①と方程式 *ー6z+3ニ0 ……②⑨ がただ 1つの実数角
を共有するとき, , 5, cの値を求めよ.

ーーン
(1) に ァ=1+z を代入して
d+がオgQ二の"上51+すの=0

ae 0
⑥(<選22一2+22z二5がTcニ0
一 (5+c-2②+(2Z十5+2)7ニ0
の ら, cは実数だから,
glheam2三0 [2=ニ-2a-?
、 M 尼近…
②⑫ ⑪ょより, ①は
?パ填gァツー2(2十1)>十2Z十4ニ0
ここで, ァテ]十2 を解にもつから,
ター1ー/ 両辺を 2乗して整理すると
ター2ァ十2三0
凍詳(2ー2z十2)(>+o十2)ニ0
_ ゆえに, ①の実数解は 7二ーー2

ュ

高次方程式

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

𝘠𝘢𝘮𝘢𝘵𝘰.

係数が実数の高次方程式がa＋biを解に持つとき、それと共役な複素数あa－biもこの方程式の解であると定義されています！

M.S

すみません、解答の"二乗する"という操作の意味って分かりますか？

𝘠𝘢𝘮𝘢𝘵𝘰.

二乗すると X＝1±i を解に持つ二次方程式 X²－2X＋2＝0 ができます！
三次方程式は重解の場合を除くと解が3つあり、そのうちの2つの解が X＝1±i と分かったので
①の三次方程式は(X²－2X＋2)で割り切れます。
①＝(X²－2X＋2)(X＋ⓐ)＝0となり、X＝－ⓐ がもう一つの解となります！

(別解)　X＝1＋i を解に持つ２次方程式は X＝1－i も解に持つので、
　　　　解と係数の関係より、(1＋i)＋(1－i)＝2
　　　　　　　　　　　　　　(1＋i)(1－i)＝1－(－1)＝2
　　　　よって、X²－2X＋2＝0　となります。

𝘠𝘢𝘮𝘢𝘵𝘰.

遅くなってごめんなさい🙇

M.S

分かりやすい解説ありがとうございます！個人的に
二次方程式と見て解と係数との関係から係数を導き出す部分がとてもわかりやすかったです！再度解く際には教えていただいたやり方で解いてみようと思います。ありがとうございました！

𝘠𝘢𝘮𝘢𝘵𝘰.

良かったです😊
頑張ってください！