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交点のx座標は2次方程式-x^2+1=-2ax+a^2の解である. これを解くと
x^2-2ax+(a-1)(a+1)=0⇔x=a-1, a+1である.
区間a-1≦x≦a+1で2ax+a^2≦y≦-x^2+1[大小関係を明確にします]なので, 囲まれた面積は
∫[(a-1)->(a+1)]{(-x^2+1)-(2ax+a^2)}dx
=-∫[(a-1)->(a+1)][{x-(a+1)}{x-(a-1)}dx [解と係数の関係を思い出そう]
=-∫[-1->1](x-1)(x+1)dx [x軸方向に-aだけ平行移動させる. 領域全体が動くので面積は不変です.]
=-2∫[0->1](x^2-1)dx [偶関数の性質を利用する]
=2(x-x^3/3)|[0->1]
=4/3.
と求まり, aの値に関わらず一定であることが分かりました.
わかりました❗️
丁寧な解説ありがとうございます❗️