Question

まるお

この問題の解説を教えて下さい。
よろしくお願いします。💦

の

No. 1 7 】 3で割ると1余り、5で割ると2余る 2桁の自然数のうち最大の
ものをぬA、) 6 で割ると1 余り、 の  ドる 3 桁の自然数のうち最小のも
のをBとしたとき、AとBの和はどれか。

                                                                                                                                                                                                                                                                   
  

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Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

LUX SIT

穴埋め問題で早く解くなら
***
7[これはすぐ分かるでしょう]は3で割ると1余り, 5で割ると2余る. また3と5は互いに素である.
中国剰余定理からℓを整数とすると15ℓ+7で表される数が条件を満たす.
2桁の自然数で最大となるのはℓ=6のときの97.
同様に49[探します. 高々66個です.]は6で割ると1余り, 11で割ると5余る.また6と11は互いに素である.
中国剰余定理からmを整数とすると66m+49と表される数が条件を満たす.
3桁の自然数で最小となるのはm=1のときの１１５.
以上から97+115=212の4.が答えである.
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不定方程式で解くなら
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求めたい数をA, 適切な整数ℓ, mをとって
A=3ℓ+1=5m+2と書ける. これから3ℓ-5m=1でℓ=2, m=1が解の一つである[ax+by=cの解法は教科書で確認しよう].
したがって3(ℓ-2)=5(m-1)とすることが出来て, 適切な整数kをとってℓ=5k+2, m=3k+1.
これが一般解でA=15k+7を得る. このうち2桁の自然数で最大なのはk=6のときでA=97
同様に求めたい数をB, 適切な整数ℓ', m'をとって
B=6ℓ'+1=11m'+5と書ける. 6ℓ'-11m'=4でℓ'=8, m'=4が解の一つである.
したがって6(ℓ'-8)=11(m'-4)とすることが出来て, 適切な整数k'をとればℓ'=11k+8, m'=6k+4
これが一般解でB=66k'+49. このうち3桁の自然数で最小なのはk'=1のときでN'=115
和をとってA+B=97+115=212.

まるお

回答ありがとうございます！やって見ます！