重要 例題
24 三角形の個数と組合せ
00000
(1)正八角形 A1A2・・・・・・
As の頂点を結んでできる三角形の個数を求めよ。
(2)(1)の三角形で,正八角形と1辺あるいは2辺を共有する三角形の個数を求
よ。 (2)(3)の違い、(3)でデ
(3)正n角形A1A2・・・・・・
An の頂点を結んでできる三角形のうち,正n角形と辺
を共有しない三角形の個数を求めよ。 ただし≧5 とする。 [類法政大,麻布大]
指針
人の中に同一の
食用
(1)三角形は,同じ直線上にない3点で1つできる(前ページの検討 参照)。
(2)[1] 正八角形と1辺だけを共有する三角形
(3)
371
1
章
・基本23
5
共有する辺の両端の点と、 その辺の両隣の2点を除く点が頂点となる。
[2] 正八角形と2辺を共有する三角形→隣り合う2辺でできる。
(1),(2)の問題 (1)(2)(3)のヒント
(全体) (正n角形と辺を共有する三角形)で計算。
(
(1) 正八角形の8つの頂点から,3つの頂点を選んで結べ
組合せ
解答
ば、1つの三角形ができるから, 求める個数は
(2)
CSA
As
14.
6
8C3=
8.7.6
3.2.1
=56 (個)
(2) [1] 正八角形と1辺だけを共有する三角形は,各辺 Ag
に対し, それに対する頂点として, 8つの頂点のうち,
辺の両端および両隣の2頂点以外の頂点を選べるから,
求める個数は (8-4)・8=32 (個)
A7
SQ
A
A6
A5
[2]正八角形と2辺を共有する三角形は、隣り合う2頂点1つに三角形が1つ
対応する。
辺でできる三角形であるから, 8個ある。
よって, 求める個数は 32+840 (個)
で