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要 例題 31
次の条件を満たす整数の組 (a, b,
数字の順列 (数の大小関係が条件)
d) の個数を求めよ。
00000
基本 29 30
c<d<8
CHART & THINKING
(2) Osasbsc≤d≤2
大小関係が条件となる数字の順列 読みかえて対応を考える
(I) 条件を満たす4つの整数は, すべて異なることに着目して考えてみよう。 7個の数字か
4個の数字を選び, それらの数字を小さい順にα, b, c, d に対応させる。
(2)(1) とは違い, 条件の式に を含むので, 整数の組 (a, b, c, d) は (0, 0, 0, 0) から
それらの数字を小さい順に a,b,c,d に対応させる。 (重複組合せ)
(2, 2, 2, 2) まで, 0, 1, 2の3個の数字から重複を許して4個を選べばよい。
重複組合せの考え方を,どう利用したらよいだろうか? 日日日日
別解として,(1)の考え方を利用する方法がある。
A=a, B=b+1, C=c+2, D=d+3 とすると,
(a, b, c, d)=(0, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 1),
......, 2, 2, 2, 2)が
(A, B, C, D)=(0, 1, 2, 3), (0, 1, 2, 4), (0, 1, 3, 4), -, (2, 3, 4, 5)
するから,(A, B, C, D)は 0≦A<B<C<D≦5 を満たす整数の組を考える。
解答
(1) 1, 2, 3, ...,7の7個の数字から異なる4個を選び,
小さい順に a, b, c, d とすると, 条件を満たす組が1つ決
まる。
よって、 求める組の個数は
Ca=7C3=35 (個)
同
305
1章
3
組
合せ
(2)0,1,2の3個の数字から重複を許して4個を選び,小さ 4個の○と2個の仕切
い順に a,b,c,d とすると,条件を満たす組が1つ決まる。
よって、 求める組の個数は
B
3+4-1C4=6C4=15 (個)
別解 A=a, B=6+1, C=c+2, D=d+3 とおくと,
条件≦a≦b≦c≦d≦2 は, 0≦A<B<C<D≦5 と同値
である。
よって, 0, 1, 2, 3, 4, 5の6個の数字から4個の数字を
選べばよい。
したがって
Ci=6C2=15 (個)
りの順列。例えば
010010
012
は (112) を表す。
(6)
