-
![]()
重号
例題2093 次関数の極大値と極小値の差
325
00000
関数f(x)=x3-6x²+3ax-4の極大値と極小値の差が4となるとき, 定数αの
値を求めよ。
基本208
指針 前ページの例題と同じ方針で進める。 x=αで極大値, x=Bで極小値をとるとすると
解答
極大値と極小値の差が4f(α)-f(B)=4
f(a),f(B) を実際に求めるのは面倒なので,f(α)-f(B) を α-B, α+B, αB で表し,
更に(α-B)2=(x+B)2-40β を利用することで, α+B, aBのみで表すことができる。
f'(x)=3x2-12x+3a
f(x)は極大値と極小値をとるから, 2次方程式(x) = 0 すな
わち3x2-12x+3a=0
......
①は異なる2つの実数解 α,β
D>0
今回は差を考えるので,
4-a>0
(α<β)をもつ。 よって、①の判別式をDとすると
た
D=(-6)-3-(3a)=9(4-α) であるから
したがって
a<4
②
f(x)のxの係数が正であるから, f(x) はx=αで極大, x=β
で極小となる。
f(a)-f(B)=(3-β3) -6(α2-B2)+3a(α-β)
136.
=(a-B){ (a2+αβ+β2)-6(a+B)+3a}
=(α-B)((a+B)²-aß-6(a+B)+3a)
① で, 解と係数の関係よりα+β=4, ab=a
よって (a-B)²=(α+B)2-4aß=4-4・a=4(4-α)
a<βより, α-β<0であるから α-β=-2√4-a
ゆえに f(a)-f(B)=-2√4-a (4-a-6・4+3a)
2/4-a{-2(4-a)}
=4(√4-a)3
f(a)-f(B)=4であるから
4(√4-a)=4
α <βと定める。
x
f'(x) +
(x)
a
B
0
-
0 +
大
極小>
3次関数が極値をもつとき
極大値> 極小値
< ② から 4-α>0
よって <4-a>0
61
3
44-a=(√4-a)2
<4-a=1の両辺を2乗
て解く。
すなわち
(v4-a)=1
よって
√4-a=1
実の
ゆえに, 4-α=1から
a=3
これは②を満たす。
検討
f(a)-f(B) の計算は,第7章で学習する積分法を利用すると, らくである。
←
((R)=(x)dx=S,3(xa)(x-B)dx=31-1/2 (a-B) p.352 基本例題2
=(-a) となる。
の公式を利用。
