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7 2次関数の最大最小
※グラフが動く場合の最大、最小
2次関数y=-x+2ax-a の 0≦x≦1 における最大値が2となるときの
の値を求めよ。
< 摂南大〉
◆y=f(x) とおくと,この値
解
y=f(x)=-x+2ax-a とすると
=-(x-a)+α-a
まず, 平方完成する
を代入するとき楽である。
グラフは上に凸で,軸が x =α だから,次のように分類される。
(i) a < 0 のとき
(0≦a≦1のとき
(iii) 1 <α のとき
YA
-a
YA
O
α-1----
a
a²-a
O
(i), (ii),(血の頂
点の座標の
位置は正確でな
くてもい
(最大、最小を
とるこの値を
調べるイメージ
図なので)
軸が定義域の
軸が定義域の
左にある場合
内にある場合
軸が定義域の
右にある場合
最大値はf(0)=-a
-a=2よりa=-2
(α < 0 を満たす)
最大値はf(a) = α-a
α-a=2より
a=-1,2
最大値はf(1) =α-1
α-1=2よりα=3
(α > 1 を満たす)
(0≦a≦1 を満たさない)
以上より a = -2,3
(答)
◆確認問題-
2次関数y=x-4x+5(0≦x≦α) の最小値を求めよ。 また, 最大値 M を求めよ。
ただし, αは正の定数とする。