ページ3:

二次曲線・媒介変数・極座標
l
目次
準線または直線
1
2次曲線の標準形を読む
5
1.1
放物線の焦点準線
5
1.2
焦点と準線から放物線.
6
1.3
楕円の標準形から頂点 焦点
8
1.4
焦点と距離の和から楕円.
9
1.5
双曲線の標準形から頂点 焦点・漸近線
11
1.6 条件から双曲線
12
2
標準形に直す処理
2.1
円を伸縮して楕円
2.2
平方完成と平行移動
3
直線と2次曲線
3.1
直線と2次曲線の共有点.
3.2
楕円と直線の共有点の個数
3.3 切り取られる線分の中点と長さ
3.4
楕円と直線の中点の軌跡.
3.5 楕円の接線
4
軌跡
4.1 円と直線に接する円の中心の軌跡
4.2 内分点の軌跡 .
2
14
14
16
17
18
19
21
22
22
24
26
26
28

ページ4:

二次曲線・媒介変数・極座標
4.3 点と直線からの距離比で決まる軌跡
4.4
入試型: 楕円の焦点を使う問題
5
最大値・最小値
5.1
楕円上の点と定点との距離の最大値.
5.2
楕円条件で式の最大値
6
媒介変数表示
6.1
媒介変数表示の曲線
6.2
三角関数型の媒介変数
6.3
1 + t2 型の媒介変数
6.4
円周上の点の変換
6.5
エピサイクロイド
7
極座標
7.1
極座標と直交座標の変換
7.2
極座標で三角形の長さ 面積
7.3
直交座標の方程式を極方程式へ
7.4
極方程式を直交座標へ
29
31
33
333
34
36
36
38
40
40
41
43
44
44
46
47
49
7.5 円 直線の極方程式
7.6 極方程式の放物線・楕円・ 正三角形
50
52
8
テスト直前最終確認
8.1 公式一覧
8.2 問題を見た瞬間の判断一覧
33
8.3
白紙再現の最短手順
3
54
54
54
55
55

ページ5:

二次曲線・媒介変数・極座標
8.4
よくあるミス一覧
試験直前十箇条
白紙再現チェックリスト
謝辞
参考文献
著者連絡先
改訂履歴
4
57
57
57
44
56
55
99
56
99
56

ページ6:

二次曲線・媒介変数・極座標
1 2 次曲線の標準形を読む
この章で使う判断
標準形を読む問題では,まず軸の向きと正負を確認する。 放物線は 4p, 楕円・双曲線は 2,62,2を読
む。特に
楕円では22-62, 双曲線では 2 = a2 + 62
を取り違えない。
1.1 放物線の焦点・準線
問題
次の放物線の焦点と準線を求めよ。 y2 = 2x, y2 = -12x, y = -
狙い
この問題では、何を未知量とし,どの定義 公式に帰着するかを最初に判断する。
使用する事実
x =
d P
PE
Xx
F(p, 0)
y2=4px⇒F(p,0), l:x= -p, x2=4pyF(0,p), l:y= -p.
解法の方針
1.y2=4px かx24py の形に直す。
=
2. 係数を比較してp を決める。
5

ページ7:

二次曲線・媒介変数・極座標
3. 焦点は軸方向に p, 準線は反対側にp だけ離す。
解答
標準形 y2 = 4px と比較する。
4p = -12
p = -3.
したがって焦点は
準線は
F(p,0) = (-3,0),
x=-p=3.
なお p < 0 であるから, 放物線は左向きに開く。
検算・注意
y=-
12をそのまま読まない。 必ず 2 = -8y と直して x2 = 4py と比較する。
結論
以上が求める答えである。
最終確認
二乗されていない文字の方向に開き, 4p を読めているか確認する。
1.2 焦点と準線から放物線
問題
焦点 (0, 4), 準線y = -4 をもつ放物線の方程式を求めよ。
狙い
この問題では,何を未知量とし,どの定義 公式に帰着するかを最初に判断する。
6

ページ8:

二次曲線・媒介変数・極座標
使用する事実
x=
d
P
PE/
T
F(p, 0)
放物線上の点P(x,y) は PF = 点P と準線の距離を満たす。
解法の方針
1. 焦点と準線から軸を判断する。
2. 頂点が原点ならp を読む。
3. 頂点が原点でない場合は距離条件 PF = d(P,I) を立てる。
4. 両辺を二乗して整理する。
解答
焦点が y 軸上にあり, 準線は水平である。 頂点は焦点と準線の中点なので原点である。
p=4.
よって標準形 24py に代入して
x2=4.4y=16y.
検算注意
焦点の座標だけを見て y24px と決めない。 準線が縦か横かで軸を判断する。
結論
以上が求める答えである。
7

ページ9:

二次曲線・媒介変数・極座標
最終確認
焦点と準線までの距離が等しい形になっているか確認する。
1.3 楕円の標準形から頂点 焦点
問題
楕円 252 +9y2= 225 の頂点と焦点を求めよ。
狙い
この問題では,何を未知量とし,どの定義 公式に帰着するかを最初に判断する。
使用する事実
解法の方針
y
PF + PF' pla
短軸 26
F'
F
長軸 2a
+= 10
= 1 (a > b > 0) ⇒ c2=d2-62, F (±c, 0).
62
1. 右辺を1にする。
2. 分母の大きい方を 2 とし, 長軸の方向を決める。
3. c2 = 42 - 62 を計算する。
4. 頂点と焦点を書く。
8

ページ10:

二次曲線・媒介変数・極座標
解答
まず右辺を1にする。
分母の大きい方は25なので長軸は y 軸方向である。
Y
9
2
25x2
+
9y2
=1
225 225
したがって
25
=1.
22
+
a2= 25,62 = 9, 2 = a2-62=25-9=16.
頂点 (±3,0), (0, ±5),
焦点 ( 0, ±4).
検算 注意
常に軸方向を長軸と考えない。 分母が大きい方向が長軸である。
結論
以上が求める答えである。
最終確認
楕円の2は大きい分母から小さい分母を引いたか確認する。
1.4 焦点と距離の和から楕円
問題
焦点が (2,0),(-2,0)で,2焦点からの距離の和が 2√5である楕円の方程式を求めよ。
狙い
この問題では、何を未知量とし、どの定義 公式に帰着するかを最初に判断する。
9

ページ11:

二次曲線・媒介変数・極座標
使用する事実
F'
y
PF + PF'′2a
長軸 2a
短軸 26
F
PF1+PF2 = 2a, quadc=焦点の中心からの距離 6202-22.
解法の方針
1. 距離の和を2a とおく。
2. 焦点からcを読む。
3.62 = a2-2を計算する。
4. 焦点の並ぶ軸に合わせて標準形を書く。
解答
距離の和は2a であるから
2a=2v5. a=v5.
焦点はx軸上で, 中心からの距離は
c = 2.
よって
62 = d² -c = 5-4 = 1.
したがって楕円は
x2
5
33 + 1/2 = 1.
y2
検算・注意
距離の和そのものを としない。 距離の和は2a である。
10

ページ12:

二次曲線・媒介変数・極座標
結論
以上が求める答えである。
最終確認
a>cになっているか確認する。 楕円では必ず 62 0 である。
1.5 双曲線の標準形から頂点焦点・漸近線
問題
双曲線 4.2 - 25g2=-100 の頂点,焦点, 漸近線を求めよ。
狙い
この問題では,何を未知量とし,どの定義 公式に帰着するかを最初に判断する。
使用する事実
F'
y
米
c2 = d2+62
F
IC
x2
a2
~~
62
1 ⇒ F(±c,0), c² = a² + b², y =
b
=±-x.
a
解法の方針
1. 正の項を見て開く軸を判断する。
2.正の項の分母を2, 負の項の分母を 62 と読む。
11

ページ13:

二次曲線・媒介変数・極座標
3. c2 = a2+62 を計算する。
4. 漸近線は2= 0から求める。
解答
右辺を正にするために移項・整理する。
25g2-4m2 = 100.
両辺を100で割ると
y 22
=1.
4 25
正の項は y2 なので縦に開く。
よって
d2 = 4,62 = 25, 2 = a + 62 = 4 + 25 = 29.
頂点 (0, ±2),
焦点 (0,±√29).
漸近線は
y²
x2
= 0
4
25
検算・注意
・
y
X
.
..
y=
双曲線では分母の大きい方が 2 とは限らない。 正の項の分母が 2 である。
結論
以上が求める答えである。
最終確認
双曲線の2 は足し算になっているか確認する。
1.6 条件から双曲線
問題
焦点が (±6,0) で, 2焦点からの距離の差が 10 である双曲線の方程式を求めよ。
12

ページ14:

二次曲線・媒介変数・極座標
狙い
この問題では,何を未知量とし,どの定義 公式に帰着するかを最初に判断する。
使用する事実
解法の方針
Y
F'
F
T
2=d2+62
|PF-PF2|= 2a, c2 = a2+62,
b2=c2-02.
1. 距離の差からα を決める。
2. 焦点からcを読む。
3.62 = c d を計算する。
4. 焦点の軸方向に合わせて標準形を書く。
解答
距離の差は2a であるから
2a=10
a=5.
焦点が (±6,0) なので
双曲線では
c=6.
62 = c2 - a2=36-25=11.
焦点はx軸上だから
2
y2
=1.
25
11
13

ページ15:

二次曲線・媒介変数・極座標
検算・注意
距離の差が 10 なら α = 5 である。 α = 10 としない。
結論
以上が求める答えである。
最終確認
ca が成り立っているか確認する。
2 標準形に直す処理
この章で使う判断
標準形に直す処理では, 右辺を1にすること, 平方完成すること, 平行移動を読み取ることが中心であ
る。式を眺めて答えを出すのではなく、 必ず標準形まで変形する。
2.1 円を伸縮して楕円
問題
円 x2 + y = 25 を 方向に2倍, y 方向に2倍して得られる曲線の方程式を求めよ。
IC
狙い
この問題では,何を未知量とし,どの定義 公式に帰着するかを最初に判断する。
Y
元の円
14
伸縮後
5
→ π

ページ16:

二次曲線・媒介変数・極座標
使用する事実
解法の方針
X2+Y2 = 12,
2
2
x = ax, y = BY ⇒
() + ()=1.
1. 元の円上の座標を (X,Y) とおく。
2. 伸縮後の座標 (x,y) と X,Y の関係を書く。
3. 元の円の式に代入する。
4. 右辺を1にして楕円の標準形に直す。
解答
元の点を (X,Y), 移った点を (x,y) とする。
したがって
x=2X.
y= -Y.
X
Y = 2y.
2
これを元の円に代入する。
()
+ (2y)² = 25
x2
4
+4y² = 25.
=
右辺を 1 にすると
x2
+
=1.
100
25/4
検算・注意
伸縮後のæy をそのまま元の円に代入しない。 必ず元の座標 X,Y に戻す。
結論
以上が求める答えである。
15

ページ17:

二次曲線・媒介変数・極座標
最終確認
方向に2倍ならの最大値が10になっているか確認する。
2.2 平方完成と平行移動
問題
二次曲線 924y2 - 54℃ -24y+9 = 0 を標準形に直し,中心と焦点を求めよ。
狙い
この問題では,何を未知量とし,どの定義 公式に帰着するかを最初に判断する。
使用する事実
解法の方針
y
O
Y = ykh, k)
(h, k)
X=x-h
X
x2-2hx=(x-h)2-h2,
y2-2ky = (y-k)2-k2.
1.x の項,y の項をそれぞれまとめる。
2.2次の係数をくくる。
3. 平方完成する。
4. 右辺を1にして標準形を読む。
16
16

ページ18:

二次曲線・媒介変数・極座標
解答
xとyでまとめる。
9(z2-6z) -4(y2 + 6y) + 9 = 0.
平方完成する。
x2-6x=
(x-3)2-9, y2 + 6y = (y+3)2 - 9.
よって
9{(x-3)2-9}-4{(y+ 3)2-9}+9 = 0.
整理すると
9(x-3)2 - 81 - 4(y + 3)2 + 36 + 9 = 0,
したがって
9(x-3)2-4(y+ 3)2 = 36.
(x- 3)²
(y+ 3)2
=1.
4
9
中心は (3,-3), 焦点は
(3±√4 + 9,-3) = (3±√13,-3).
検算 注意
係数をくくらずに平方完成すると定数項を誤りやすい。
結論
以上が求める答えである。
最終確認
完成後に展開して元の式に戻るか確認する。
3 直線と2次曲線
この章で使う判断
直線と2次曲線の問題では,原則として直線を代入し, 1変数の2次方程式に帰着する。 共有点の個数は
判別式, 中点は解の和, 線分の長さは解の差で処理する。
17

ページ19:

二次曲線・媒介変数・極座標
3.1 直線と2次曲線の共有点
問題
楕円 2 + 2 = 1 と直線 2 - y = 4 の共有点の個数を調べよ。
狙い
この問題では,何を未知量とし,どの定義 公式に帰着するかを最初に判断する。
使用する事実
D > 0
D=0
D< 0
Ax2 + Bx + C = 0
⇒
D=B2-4AC.
解法の方針
1. 直線を y=・・・ または æ=･･･と解く。
2.2次曲線へ代入する。
3.2次方程式の判別式を計算する。
4. 座標が必要なら解を戻す。
解答
直線から
楕円に代入する。
y=2x-4.
(2x-
+
2
-4)2
3
=1.
両辺に 6 をかける。
3m2 + 2(42
- 16x + 16) = 6.
18

ページ20:

二次曲線・媒介変数・極座標
3x2 +82-32m +32 = 6
112 - 32x + 26 = 0.
判別式は
したがって共有点はない。
検算・注意
D=(-32)2-4.11.26 = 1024-1144 = -120 < 0.
代入後の式を整理せずに判別式を計算しない。 係数を明確にする。
結論
以上が求める答えである。
最終確認
D > 0,D = 0,D < 0 のどれかを最後に必ず書く。
3.2 楕円と直線の共有点の個数
問題
楕円
+ 峠 = 1 と直線 y=mx+3の共有点の個数を,m の値によって分類せよ。
狙い
この問題では、 何を未知量とし, どの定義 公式に帰着するかを最初に判断する。
使用する事実
D > 0
D=0
D<0
D > 0 2点
D=0 ⇒ 接する
D< 0 ⇒ 0点.
19

ページ21:

二次曲線・媒介変数・極座標
解法の方針
1. 直線を楕円に代入する。
2.x についての2次方程式に整理する。
3.Dをm の式として計算する。
4. D の符号で個数を分類する。
解答
代入して
両辺に 36 をかける。
すなわち
x2
(mx + 3)2
+
=1.
9
4
4x2 +9(m2x2+6mz + 9) = 36.
(4+9m²)x2 +54m² + 81-36 = 0,
(4+9m²)x2 +54mz + 45 = 0.
判別式は
D = (54m)2-4(4+9m²)452916m²-180(4+9m²)
=2916m²
1296m²
-720-1620m²
2
- 720.
したがって
5
D> 0⇔m² >
9
このとき異なる2点で交わる。 等号なら接し, 小さければ交わらない。
検算 注意
接する条件は D=0であり, D≥0ではない。
結論
以上が求める答えである。
最終確認
分類では等号の場合を別に書く。
20
20

ページ22:

二次曲線・媒介変数・極座標
3.3 切り取られる線分の中点と長さ
問題
直線 y = 3x - 5 が双曲線 4.2 - y2 = 4 によって切り取られる線分の中点と長さを求
めよ。
狙い
この問題では,何を未知量とし,どの定義 公式に帰着するかを最初に判断する。
使用する事実
解法の方針
Q(x2,42)
R
P(x1,y1)
Rz = (xl+x2)/2
X
B
x1 + x2 =
x1x2= |PQ| = √1 +m2|z1-æ2|.
A
A'
1. 直線を代入し, 交点の座標を 1,2 とする。
2. 解と係数の関係で 1 + π2, 172 を出す。
3.中点は (+12)。
4.長さは|x1x2 | から求める。
解答
代入して
展開する。
4m2-(3-5)2= 4.
42- (922-30m +25) = 4,
21

ページ23:

二次曲線・媒介変数・極座標
-5x2 +30x-25=4
5.x2 30x + 29 = 0.
解を 1,2 とすると
30
29
x1+2=
6,
x1x2=
5
5
中点の座標は3, y 座標は直線より
/1 +92
=3.3-5=4.
2
よって中点は (34) また
116
64
-
(x1 = x2)² = (x1+x2)² - 4x1x2 = 36 -
5
5
したがって
64
8
|PQ|= V1+321
= v10
=
8√√√2.
5
検算・注意
線分の長さを | x1 - x2 のままにしない。 傾きの直線上ではV1+m2倍する。
結論
以上が求める答えである。
最終確認
中点は解の和, 長さは解の差である。
3.4 楕円と直線の中点の軌跡
問題
楕円 x2 + 4y2 = 4 と直線y=x+k が異なる2点で交わる条件を求め, その弦の中点
の軌跡を求めよ。
狙い
この問題では,何を未知量とし,どの定義 公式に帰着するかを最初に判断する。
22

ページ24:

二次曲線・媒介変数・極座標
使用する事実
解法の方針
R
Q(x2,32)
P(x1,y1)
Rz= (x+x2)/2
X
中点 (X,Y):
1+2.
X =
Y = $1 + y2
2
2
1. 直線を楕円に代入する。
2.D>0で異なる2点条件を出す。
3.解の和から中点をkで表す。
4.kを消去して軌跡を書く。
解答
代入する。
展開して
x2+4(π+k)2 = 4.
x2 + 4(z2 + 2kz +k2) = 4,
5x2 + 8kx + 4k2-4 = 0.
D=(8k)2-4.5(4k2-4) > 0.
異なる2点で交わる条件は
64k2 - 80k2 + 80 > 0
解の和は
16k2 + 80 > 0
.
k2 <5.
8k
x1+x2=-
5
中点を (X, Y) とすると
X=-
4k
5
また yi=πi+k より
Y = X + k.
23

ページ25:

二次曲線・媒介変数・極座標
k =Y-X かつ X = - なので
軌跡は
k =
-X, Y = X-2x
-
1
Y=--X.
4
k2 <5x2 <
検算 注意
軌跡の直線だけで終わらず, 異なる2点で交わる範囲も書く。
結論
以上が求める答えである。
最終確認
D>0の条件を最後まで残しているか確認する。
3.5 楕円の接線
4
16-5
問題
点A(0,5)から楕円 2 +4y2 = 20 に引いた接線の方程式を求めよ。
狙い
この問題では,何を未知量とし,どの定義 公式に帰着するかを最初に判断する。
y
y = −x + 5 | y = x + 5
A(0,5
x2 +42 = 20
24
T

ページ26:

二次曲線・媒介変数・極座標
使用する事実
1
+
26
=1上の (x1,y/1) の接線:
解法の方針
1. 外部点を通る直線を y=mx+n とおく。
2. 楕円に代入する。
3. 接する条件 D = 0 を用いる。
4. 必要なら垂直接線を別に確認する。
解答
点 (0,5) を通る傾きの直線を
とおく。 楕円へ代入する。
展開して
XX1 1991
+
=1.
a²
y=mx+5
z2 + 4(mz +5)2 = 20.
x 2 + 4(m2x2 +10mx +25) = 20,
(1 + 4m²)x2 + 40mæ + 80 = 0.
接する条件はD=0である。
D = (40m)2 - 4(1+4m²)80 = 0.
1600m²-320-1280m²=0
_
320m²=320
. m=±1.
よって接線は
y=x+5,
y=-x+5.
垂直線 æ = 0 は楕円と 432 = 20で2点を持つので接線でない。
検算 注意
外部点が楕円上にあるときだけ接線公式を直接使える。 外部点からはD=0が基本である。
結論
以上が求める答えである。
25

ページ27:

二次曲線・媒介変数・極座標
最終確認
求めた直線を代入したとき 2次方程式が重解になるか確認する。
4 軌跡
この章で使う判断
軌跡では,動点を (x,y) と置き, 条件を等式に直す。 内分点なら元の動点を消去し, 距離比なら距離を
式にし,接する円では半径を補助文字として置く。
4.1 円と直線に接する円の中心の軌跡
問題
点A(2,0) を中心とする半径1の円と直線=-1の両方に接し, 点 A を内部に含ま
ない円の中心の軌跡を求めよ。
狙い
この問題では、何を未知量とし,どの定義 公式に帰着するかを最初に判断する。
使用する事実
x=-1
r
x+(x,求める円
AP = r + 1
X
A(21)
中心 P(x,y), 半径r
⇒
接線までの距離=r.
26

ページ28:

二次曲線・媒介変数・極座標
解法の方針
1. 求める円の中心を P(x,y), 半径をr とする。
2. 直線との接触からr を x,yで表す。
3. 円との接触から PA = r±1 を立てる。
4. を消去して軌跡を得る。
解答
中心を P(x,y), 半径を とする。 直線 æ = -1 に接するので, 中心から直線までの距離は
r= = | +1|.
右側にある場合を考えるとr=æ +1。 また点 A を内部に含まないので,元の円とは外接する。
PA=r+1.
したがって
両辺を二乗して
展開する。
ゆえに
これは右向きの放物線である。
√(x-2)2+y2 =x+2.
(x-2)2 + y2 = (x + 2)2.
x² − 4x + 4+ y² = x²+4x+4.
y2=8x.
検算 注意
内接か外接かで PA=r-1 かr+1が変わる。 条件 「内部に含まない」 を読む。
結論
以上が求める答えである。
最終確認
二乗前の距離条件に戻して, 符号条件が合うか確認する。
27

ページ29:

二次曲線・媒介変数・極座標
4.2 内分点の軌跡
問題
点A(a,0), B(0,b) が AB = 8 を満たして動く。AP:PB = 3:5 となる内分点Pの
軌跡を求めよ。
狙い
この問題では,何を未知量とし, どの定義 公式に帰着するかを最初に判断する。
使用する事実
解法の方針
m
n
R
p^= (nA+mB)/(m + h)
nA+mB
AP:PB=m:n⇒P=
m+n
1. 内分点 P(x,y) を a,b で表す。
2. その式を解いて a,b を x,y で表す。
3. 与えられた条件に代入して a,b を消去する。
4. 必要なら範囲を書く。
解答
内分点公式より
P =
5A+3B
8
したがって
5a
x =
"
8
8-5
5x
28
y =
b =
3b
第18
8-3
5y.
これを解くと
a=

ページ30:

二次曲線・媒介変数・極座標
また AB = 8 だから
代入して
両辺を 64 で割ると
a2 + 62 = 64.
2
2
8
8
+
=64.
3
2:2
+ =1.
25 9
検算 注意
比3:5の係数を逆にしない。 点 A には相手側の5が掛かる。
結論
以上が求める答えである。
最終確認
内分点が A に近いか B に近いか,比から位置を確認する。
4.3 点と直線からの距離比で決まる軌跡
問題
点 F(1,0) と直線x=4からの距離の比が1:2である点Pの軌跡を求めよ。
狙い
この問題では,何を未知量とし,どの定義 公式に帰着するかを最初に判断する。
y
PF
P d
F
29
x = 4
→π

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二次曲線・媒介変数・極座標
使用する事実
解法の方針
PF
= e. 0<e <1は楕円, e=1は放物線, e >1は双曲線 .
d(P,l)
1. 動点をP(x,y) とする。
2. 点からの距離 PF と直線からの距離 dを書く。
3. 比の条件を等式にする。
4. 両辺を二乗して標準形に整理する。
解答
条件は
PF: d (P,x=4)=1:2.
つまり
両辺を整理して
二乗する。
展開して
V(x-1)2 +y2
|-4|
1
2
2√(æ-1)2 + g2 = |æ -4|.
4{(x-1)2+y^} = (x-4)2.
4(z2 - 2x + 1) + 4y2 = x2 - 8z + 16.
3m2 + 4g2-12 = 0.
よって
x2
4
+ =1.
3
検算 注意
絶対値を二乗で消した後、 元の距離条件を満たす範囲を確認する。
結論
以上が求める答えである。
30

ページ32:

二次曲線・媒介変数・極座標
最終確認
比が1:2 なら離心率e= <1で楕円になる。
4.4 入試型:楕円の焦点を使う問題
問題
楕円 2 + 2 =1の焦点を A(0, √3),B(0, -√3) とする。点 A を通る傾き m の直線
と楕円の交点P,Q について,解と係数の関係および焦点距離を用いて基本量を整理
せよ。
狙い
この問題では,何を未知量とし,どの定義 公式に帰着するかを最初に判断する。
使用する事実
Y
傾き m
A-(0-√3)
X
•B(0, -√3)
AX + BX = 4
楕円上の点P について PF1 + PF2 = 2a.
解法の方針
1. 焦点を確認し、楕円の距離和を読む。
2. 直線を媒介変数または æ 座標で表す。
3. 交点について解と係数の関係を使う。
31

ページ33:

二次曲線・媒介変数・極座標
4. 距離和・弦長面積へ変換する。
解答
直線は
y=mx+ V3.
楕円に代入する。
22 +
(mx + V3)2
= 1.
4
両辺に 4 をかける。
4m2 + m²x2 + 2√3m² + 3 = 4.
したがって
(m² + 4)x2 + 2√3mæ-1 = 0.
交点の座標を α β とすると
2√3m
1
a+β=
aβ=
m²+4'
m²+4
弦長は同一直線上の2点間距離なので
PQ = V1 + m² |a-β.
また楕円は縦長でα=2だから, 楕円上の任意の点 X について
AX + BX = 4.
この性質をP,Qにそれぞれ用いると, 焦点距離を含む和を整理できる。
検算 注意
楕円の焦点を使う問題では,距離を座標で全部展開する前に PF1+PF2 = 2a を使えるか確認する。
結論
以上が求める答えである。
最終確認
楕円上の点ごとに距離の和が一定であることを利用したか確認する。
32

ページ34:

二次曲線・媒介変数・極座標
5 最大値・最小値
この章で使う判断
距離の最大最小では距離そのものではなく距離の2乗を見る。 楕円条件がある式の最大最小では,
x=acost,y= bsint とおき, 最後は Acosu + Bsinu に帰着する。
5.1 楕円上の点と定点との距離の最大値
問題
楕円 + y2 = 1 上の点P(x,y) がæ≥0 を満たすとき,点 A(0, -1) との距離 AP
の最大値を求めよ。
狙い
この問題では,何を未知量とし,どの定義 公式に帰着するかを最初に判断する。
使用する事実
Y
P
AP x
A(0,1)
0の右半分で考える
APの最大最小⇔ AP2 の最大最小.
解法の方針
1. 点P(x,y) と置く。
2.距離の2乗を作る。
3. 楕円条件から変数を1つにする, または三角関数化する。
4. 定義域を確認して最大最小を決める。
33

ページ35:

二次曲線・媒介変数・極座標
解答
楕円を
x = V3 cost,
y = sin t
とおく。 条件æ≧0 より cost ≥0 である。 距離の2乗は
代入して
展開する。
AP2 = x 2 + (y + 1)2.
AP2=3cos2t+ (sint + 1)2.
AP2=3(1-sin' t) + sin' t + 2 sint + 1.
=4-2sin't+ 2sint.
s = sint とおくと,-1 <s≤1で
2
1
9
AP2 = -2s2 + 2s+ 4 = -2s-
+
2
最大値は s = 1/2 のとき
AP2
9
3
=
AP =
2'
✓2
検算注意
距離 AP の式に平方根を残したまま最大最小を考えない。
結論
以上が求める答えである。
最終確認
最後に平方根を戻すか, 距離の2乗の答えなのかを明記する。
5.2 楕円条件で式の最大値
問題
条件 2x2 +3y2 = 1 のもとで, 式 x2 - y' + xy の最大値を求めよ。
34

ページ36:

二次曲線・媒介変数・極座標
狙い
この問題では,何を未知量とし,どの定義 公式に帰着するかを最初に判断する。
使用する事実
F'
y
PF + PF′' 2a
長軸 2a
短軸 26
F
1
x =
cost,
y=
sint,
Acosu + Bsinu ≤ VA2 + B2.
V2
解法の方針
1. 楕円条件を三角関数で表す。
2. 求める式に代入する。
3. cos2t, sin't, sintcost を cos 2t, sin 2t に直す。
4. C' + Acos 2t + Bsin 2t の最大を求める。
解答
条件から
とおける。 求める式をEとする。
代入して
ここで
cos2t.
E=
x =
v2
10/12 cost.
1
y=
sin t
1 + cos 2t
2
E = x² - y² + xy.
cos2t
1
1
-
sin2t+
sint cost.
3
sin 2
t =
1-cos 2t
2
1
sintcost=
sin 2t.
2
35

ページ37:

二次曲線・媒介変数・極座標
よって
E-1(1+0
E= (1 + cos2t) 12 (1
1
(1- cos 2t) +
sin 2t.
2√6
定数項と三角関数項をまとめると
1
E =
12
+10
5
1
cos 2t +
sin 2t.
12
2√6
したがって最大値は
2
1/2 + V (1)+(26)
1
25
1
+
12
+
144 24
1
31
1+√31
+
12
144
12
検算 注意
x=cost,y=sint としてしまうと条件 22 +3y2 = 1 を満たさない。
結論
以上が求める答えである。
最終確認
三角関数化した式が元の楕円条件を恒等的に満たすか確認する。
6 媒介変数表示
この章で使う判断
媒介変数表示では, 媒介変数を消去するだけで終わらない。 必ず x, y の範囲, 除外点, 曲線の一部分で
ある可能性を確認する。
6.1 媒介変数表示の曲線
問題
媒介変数表示 = cos 0, y = sin 20 で表される曲線の方程式と範囲を求めよ。
36

ページ38:

二次曲線・媒介変数・極座標
狙い
この問題では,何を未知量とし,どの定義 公式に帰着するかを最初に判断する。
使用する事実
範囲により曲線の一部
sin 20+ cos20=1.
解法の方針
1. 消去したい媒介変数を決める。
2. 恒等式または代入で媒介変数を消す。
3.x,y の範囲を媒介変数の範囲から読む。
4. 必要なら曲線の一部と明記する。
解答
まず
ここでx=cos 0 だから
sin20=1-cos20.
y=1-x2.
また cose の値域より
-1 <x<1.
さらにy= sin 20 なので
0≤y≤1.
したがって曲線は
y=1-x2,
-1≤x≤1
で表される放物線の一部である。
37

ページ39:

二次曲線・媒介変数・極座標
検算 注意
方程式だけを書いて範囲を書き忘れると, 媒介変数表示の答えとして不十分である。
結論
以上が求める答えである。
最終確認
媒介変数の値域から, 端点 除外点を確認する。
6.2 三角関数型の媒介変数
問題
媒介変数表示 x = + 1, y = 3tan0-4で表される曲線の方程式を求めよ。
2
cos 0
狙い
この問題では,何を未知量とし,どの定義 公式に帰着するかを最初に判断する。
使用する事実
yx=1
「
x
sec20- tan 201
cos20+ sin20= 1,
sec20- tan20=1.
38

ページ40:

二次曲線・媒介変数・極座標
解法の方針
1. cos 0, sin 0, tan0 などを x, y で表す。
2. 三角恒等式へ代入する。
3. 標準形に整理する。
4. 範囲や除外を確認する。
解答
まず
2
x-1
x-1=
= 2 sec 0
.
sec 0 =
cos
2
また
恒等式
y+4=3tan 0
y +4
.
tan O
3
に代入する。
2
したがって
sec20-tan20=1
2
2
y+4
= 1.
3
(x-1)2
(y+ 4)2
=1.
4
9
検算・注意
sec2 0 = 1 + tan20 を使うとき, 符号を逆にしない。
結論
以上が求める答えである。
最終確認
使った恒等式が sin2 + cos2 =1型か sec2-tan2=1型か確認する。
39

ページ41:

二次曲線・媒介変数・極座標
6.3
1 + t2 型の媒介変数
問題
媒介変数表示 =
1-12
1+t2y=
1+t2
4 で表される曲線の方程式と除外点を求めよ。
狙い
この問題では,何を未知量とし,どの定義 公式に帰着するかを最初に判断する。
使用する事実
除外
1 + t2型
1-t2
2t
= cos,
=
1 + t2
sin o.
1+t2
解法の方針
1. の形を探す。
1+t2
1+t2
2. 係数を調整して円の恒等式にする。
3. 方程式を得る。
4.t が実数で取り得ない点を確認する。
解答
xはそのまま
また
X
1 - t2
1+t2.
y
-2
=
2t
1+t2.
40

ページ42:

二次曲線・媒介変数・極座標
したがって
2:2
2
2t
2
x² + (²)² - (+1 = ²²)² + ( 1217 ) ².
=
+t2
1+t2
分子を計算すると
(1 - t2)2 + (2t)^ = 1 − 2t2 + t + 4t2 = (1 + t2)2.
よって
x2 + =1.
y²
4
ただし tが実数の範囲では (−1,0) は到達しない。
検算・注意
方程式は円全体でも、媒介変数表示では除外点があることがある。
結論
以上が求める答えである。
最終確認
t→∞の極限で近づくだけの点がないか確認する。
6.4 円周上の点の変換
問題
点 P(x,y)が円 x2 + y2 = r2 上を動くとき, Q(X, Y) = (x2 - y2,2xy)の軌跡を求
めよ。
狙い
この問題では,何を未知量とし,どの定義 公式に帰着するかを最初に判断する。
41

ページ43:

二次曲線・媒介変数・極座標
使用する事実
Y, Y
→x.X
Pの円
P
半径の円から半径 2 の円へ
X=x2-y', Y = 2xy ⇒ X2 + Y2 = (x2 + y2)2.
解法の方針
1. 変換後の座標を (X,Y) と置く。
2.X2 + Y2 の形を作る。
3. 元の条件 x2 +y2=r2 を代入する。
4. 必要なら回転角や偏角の変化を読む。
解答
まず
X2+ Y2 = (m2-y2 ) 2 + (2xy)2.
展開する。
X2+ Y2 = x4-2m2y2+y^ + 4m2y2 = x4 +2m2y2+y4.
したがって
X2 + Y2 = (x2 + y2)2.
元の条件より2+ y2 = r2 なので
X2+ Y2 = r4.
よって Qは中心原点, 半径 r2の円上を動く。
検算注意
Qの半径は ではなく 2 である。
42

ページ44:

二次曲線・媒介変数・極座標
結論
以上が求める答えである。
最終確認
変換後の座標を (X, Y) と置き直しているか確認する。
6.5 エピサイクロイド
問題
半径2の固定円の外側を半径1の円が滑らずに回るとき, 動円上の点Pの軌跡を媒
介変数で表せ。
狙い
この問題では,何を未知量とし,どの定義 公式に帰着するかを最初に判断する。
使用する事実
解法の方針
a+b
b
x = = (a+b) cost-bcos -t, y=(a+b)sint-bsin -t.
a+b
b
1. 動円の中心の運動を半径 a + bの円として表す。
2. 滑らない条件から回転角を att とする。
3. 中心の位置ベクトルから回転ベクトルを引く。
4. a,b を代入する。
43

ページ45:

二次曲線・媒介変数・極座標
解答
固定円半径を a = 2, 動円半径を b = 1 とする。 動円の中心は原点を中心とする半径 a + b =3の円を
動くので
C(t)
=
(3 cost, 3 sint).
円周上の点は中心から長さ1の回転ベクトルだけずれる。 外側を滑らずに回るため,その回転角は
したがって
a+b
-t = 3t.
b
x=3cost-cos3t,
y=3sint- sin 3t.
検算 注意
中心の運動だけで終わらない。 円周上の点なので回転ベクトルを加減する。
結論
以上が求める答えである。
最終確認
式が 「中心の運動 + 回転ベクトル」になっているか確認する。
7 極座標
この章で使う判断
極座標では、常に
x=rcos0,
y=rsin0,
r2=x^2 +12
から始める。直線はrcos(0-a)=p, 円は中心との距離で表す。 正三角形の問題では偏角がずれる。
7.1 極座標と直交座標の変換
問題
直交座標 (√3,-3)を極座標で表せ。また,極座標から直交座標への変換公式を確認
せよ。
44

ページ46:

二次曲線・媒介変数・極座標
狙い
この問題では,何を未知量とし,どの定義 公式に帰着するかを最初に判断する。
P(r, 0)
nsin A
始線
O rcos o
使用する事実
解法の方針
x=rcos0,
y=rsin0,
r= V22+y2,
Y
tan 0 =
x
1. 極座標から直交座標へは x,y を直接計算する。
2. 直交座標からはまずr を求める。
3. tan0 を用いる。
4. 象限で 0 を決める。
解答
まず
次に
点は第4象限にあるから
r = √(√3)² + (−3)² = √3+9 = 2√3.
-3
tan0 =
V3.
√3
πT
0 =
3
と取れる。 したがって
(√3,-3) = (2√3,-)
である。
45

ページ47:

二次曲線・媒介変数・極座標
検算 注意
tan0 だけで角を決めない。 象限を必ず確認する。
結論
以上が求める答えである。
最終確認
x=rcos0,y=rsin 0 に戻して元の座標になるか確認する。
7.2 極座標で三角形の長さ 面積
問題
極座標で A(2, ),B(4, c) が与えられている。 AB の長さと三角形 OAB の面積を
求めよ。
狙い
この問題では,何を未知量とし,どの定義 公式に帰着するかを最初に判断する。
使用する事実
P(r, 0)
nsin A
始線
O rcos o
1
AB2=2+12-27172 cos(a-β),
S = "172| sin(a - B)|.
解法の方針
1.2点の偏角の差を求める。
46

ページ48:

二次曲線・媒介変数・極座標
2. 長さは余弦定理を使う。
3. 面積は labsin C を使う。
4. 絶対値で面積を正にする。
解答
偏角の差は
したがって
5πT
π 2πT
6
13
-6
2π
AB2 = 22 + 42 - - 2.2.4 cos
3
= 4 + 16-16
= 28.
よって
AB=2√7.
面積は
2.4 sin
2πT
3
V3
=4.
=2√3.
2
検算 注意
角の差をそのまま使い, sin の符号で面積を負にしない。
結論
以上が求める答えである。
最終確認
長さは余弦定理,面積は1/2 172 sin で処理したか確認する。
7.3 直交座標の方程式を極方程式へ
問題
直交座標の方程式 24 を極方程式で表せ。
47

ページ49:

二次曲線・媒介変数・極座標
狙い
この問題では、何を未知量とし,どの定義 公式に帰着するかを最初に判断する。
P(r,0)
π sin 0
始線
O
rcos A
使用する事実
x=rcose.
y=rsin0.
x² + y² = r².
解法の方針
1.x,y,x2+y2を極座標の式に置換する。
2. 共通因子があれば整理する。
3.r=0を除外してよいか確認する。
4. 必要に応じてr= の形にする。
解答
置換する。
4x4rcos0.
y2=(rsin0)2=r2sin20,
よって
r2sin204rcos 0.
原点以外ではで割って
rsin20=4cos 0.
したがって
4 cos 0
r =
sin² 0
原点は元の放物線上にあり, 式の極限的な点として扱う。
検算 注意
y' を r2cos20 としない。 y=rsin0 である。
48

ページ50:

二次曲線・媒介変数・極座標
結論
以上が求める答えである。
最終確認
xrcoseyはrsin と機械的に置いたか確認する。
7.4 極方程式を直交座標へ
問題
極方程式 r2(3sin' 0 + 1) = 4 を直交座標の方程式に直せ。
狙い
この問題では,何を未知量とし,どの定義 公式に帰着するかを最初に判断する。
P(r, 0)
nsin O
始線
O rcos A
使用する事実
rcoso=x,
rsin0 = y,
r2sin20=2xy.
解法の方針
1. 分母のr をなくすため、必要なら両辺に r をかける。
2. rcoseとrsin0 を作る。
3.72 型は x2 +g2, r2 sin 20 型は 2my にする。
4. 標準形に整理する。
49

ページ51:

二次曲線・媒介変数・極座標
解答
まず
r2sin20=y2,
r² = x² + y².
したがって
r2 (3sin20+ 1) = 3r2sin20+r2.
これを直交座標に直すと
3y² + (z2 + g2) = 4.
よって
x2 + 4y2 = 4.
検算 注意
r2 sin 20 を y2と見抜けず, 不必要に三角関数を残さない。
結論
以上が求める答えである。
最終確認
最後に r0 が残っていないか確認する。
•
7.5円 直線の極方程式
問題
中心 C(4, 4), 半径3の円の極方程式を求めよ。 また, 直線の極方程式の形を確認せよ。
狙い
この問題では,何を未知量とし,どの定義 公式に帰着するかを最初に判断する。
50
50

ページ52:

二次曲線・媒介変数・極座標
使用する事実
解法の方針
rcos(0-a)=p
P
Q
始線
O
a
Clayp
円:r2-2arcos(0-a) + d2 = p2,
直線: rcos(0-a) = p.
1. 円は中心 C(a,a) と点P (r, heta) の距離を用いる。
2. 余弦定理で CP2 を表す。
3. 直線は原点からの垂線の長さp と方向 α を読む。
4. 条件を標準形に代入する。
解答
点P(r, heta) と中心 C の距離が3である。 余弦定理より
CP2=12+42-2r4cos|
· (0 - 1).
半径が3なので
r2 + 16-8rcos 0-
(-1)
= 9.
したがって
7.2
- 8r cos
(0 - 1)
+7= 0.
検算 注意
円の中心が極座標で与えられているとき, 中心の直交座標を無理に出さなくても余弦定理でよい。
51

ページ53:

二次曲線・媒介変数・極座標
結論
以上が求める答えである。
最終確認
中心が原点を通る円ならr= 2acos (O-α) の形になる。
7.6 極方程式の放物線・楕円・正三角形
問題
極 O を焦点, 直線=3を準線とする放物線の極方程式を求めよ。 また, 正三角形に
よる回転で偏角がどう変わるか説明せよ。
狙い
この問題では、 何を未知量とし, どの定義 公式に帰着するかを最初に判断する。
y
x = 3
r
O=F
偏角が ±T/3
π/3
P
A
O
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二次曲線・媒介変数・極座標
使用する事実
回転: (r,0)→(r,0±α),
正三角形では α =
解法の方針
1. 放物線・楕円では焦点と準線の距離条件を立てる。
2. 極方程式の分母から離心率を読む。
3. 正三角形では点の偏角が±ずれることを使う。
4. 元の点の条件へ角を戻して代入する。
解答
点P(r, heta) とする。 焦点は原点なので
PF=r.
準線 x = 3 までの距離は、点Pの直交座標がx=rcos0 であるから
である。 放物線の定義より
したがって
ゆえに
3- r cos 0
r=3-rcos 0.
r(1+cos0) = 3.
3
r =
1 + cos 0
正三角形 OPQ の問題では,QはPを原点中心に回転した点である。 したがって P の条件式にお
いて、角を0に置き換えればQ の軌跡が得られる。
検算 注意
正三角形では長さは変わらず, 偏角だけが変わる。
結論
以上が求める答えである。
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二次曲線・媒介変数・極座標
最終確認
極座標の回転は角に足すだけであることを確認する。
8 テスト直前最終確認
この章で使う判断
最後の確認では,公式を思い出すだけでなく, 問題を見た瞬間の第一手を固定する。 二次試験型の答案
では,最初の置き方と途中式の並べ方が得点を決める。
8.1 公式一覧
項目
放物線
楕円
公式・判断
y2=4px⇒F(p,0), x=-P, x2
距離の和 2a, 2 = 02-62
=
4pyF(0,p), y = -p
双曲線
直線と2次曲線
中点
線分の長さ
距離の差 2a, 2 = 02 + 62
代入して2次方程式, 個数は D
解の和を2で割る
最大最小
媒介変数
傾きなら V1 + m2|21 -æ2|
距離は2乗, 楕円は三角関数化
消去して範囲を書く
極座標
x=rcos0,y=rsin0r2
x2+g2
正三角形
偏角がずれる
8.2 問題を見た瞬間の判断一覧
• 焦点・準線が出たら, 距離が等しい式を作る。
•
楕円の焦点が出たら, 距離の和 2α を使う。
•
双曲線の焦点が出たら, 距離の差 2a を使う。
•
直線と2次曲線が出たら, 代入して判別式を見る。
•中点が出たら, 交点を直接求める前に解の和を見る。
•
最大最小が出たら, 距離の2乗または三角関数化を考える。
•
媒介変数が出たら, 消去後に範囲を必ず書く。
極座標が出たら,まず x = rcos0,y=rsin0 を書く。
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二次曲線・媒介変数・極座標
8.3 白紙再現の最短手順
1. 標準形を読む問題では,右辺を1にして2,62,2を決める。
2. 平方完成では,係数をくくってから (æ-h)2,(y-k)2 を作る。
3. 直線との交点では,代入して Ax2 + Bx + C = 0 にする。
4. 軌跡では,動点を (x,y) と置いて条件式を立てる。
5. 媒介変数では,消去範囲 除外点の順に書く。
6. 極座標では, 直交座標との変換式を最初に書く。
8.4 よくあるミス一覧
楕円と双曲線のの符号を逆にする。
距離の和・差をαとしてしまう。 正しくは2a である。
.
判別式で D = 0 の接する場合を分類し忘れる。
•
中点を求める問題で交点を最後まで解こうとして計算量を増やす。
•
媒介変数表示で範囲や除外点を書き忘れる。
極座標でとりの cos, sin を取り違える。
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二次曲線・媒介変数・極座標
試験直前十箇条
一、 放物線は 4p を読む。
二、楕円は 2 = 262, 双曲線は 2 = a +62。
三、楕円は距離の和, 双曲線は距離の差。
四、直線と二次曲線は代入して判別式を見る。
五、 接線は D=0。
六、 中点は解の和で求める。
七、距離の最大最小は距離の二乗で考える。
八、軌跡ではまず動点をP(x,y) と置く。
九、 媒介変数は消去した後に範囲を書く。
十、極座標はæ=rcos0,y=rsin0, r2=x2+y^ に戻す。
白紙再現チェックリスト
標準形に直して, 軸の向きと焦点の位置を確認したか。
直線との共有点では,代入後の二次方程式と判別式を書いたか。
•
軌跡では,動点を置き, 条件を距離または座標の式に直したか。
媒介変数では,消去後の範囲と除外点を確認したか。
極座標では,直交座標への変換式に戻して検算したか。
謝辞
本稿の作成にあたり,二次曲線, 媒介変数表示, 極座標に関する一連の演習問題を通じて、 公式を単に記
憶するだけではなく, 定義から式を立て, 標準形へ整理し,答案として再現可能な形に構成することの
重要性を確認した。
特に,放物線における焦点と準線, 楕円と双曲線における焦点距離, 直線と二次曲線の共有点判定, 媒介
変数の消去, 極座標と直交座標の変換は,いずれも白紙からの再現力を必要とする内容である。
本ノートは、日々の演習と修正を通じて得られた理解を体系化したものである。ここに, 学習の過程で
用いた教材,演習問題,および答案作成の試行錯誤に感謝する。
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二次曲線・媒介変数・極座標
参考文献
[1] 数研出版, 『チャート式基礎からの数学C』 数研出版.
"
[2] 数研出版, 『高等学校 数学C』 数研出版 .
[3] 数研出版, 『4STEP 数学 C』 数研出版.
[4] 数研出版編集部, 『高等学校数学 C 教科書傍用問題集』, 数研出版 .
,
[5] 後藤公希, 『二次曲線媒介変数 極座標 白紙再現用演習メモ』 unpublished notes, 2026.
[6] 後藤公希, “Koki Goto Portfolio,” kokikite.dev.
著者連絡先
後藤 公希
三重高等学校
Portfolio: kokikite.dev
改訂履歴
• 2026年5月初版作成。
• 2026年5月図版, 問題文, 謝辞, 参考文献, 著者情報を追加。
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