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令和7年1月進研記述高1模試@自学 AB=4√5, BC=8の△ABC があり,辺BC上にBD = 5と 6 なる点Dをとる。 また, ADC の外接円 0と辺 AB の交点のうち, Aでない方の点をEとする。 (1) 線分 BE の長さを求めよ。 DF (2) 直線 AD と直線CEの交点をFとするとき, の値を求めよ。 FA (3)(2)のとき, 直線 BF と辺 AC の交点をG とする。 線分 AD が円 0 の直径になるとき, 線分 AG の長さを求めよ。 また,このとき, 四角形 DCGF の面積を求めよ。 (配点 20)
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自学©Akagi (1)点 E, A, D, Cは円 0の周上の点だから,方べきの定理により BE x BA = BD x BC BA =4√5, BD = 5,BC=8より よって BE x 4√5 = 5 x 8 BE =2√5 4√5 W B 5 D 3
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自学 © Akagi (2) △ABD と直線 EC でメネラウスの定理により AE BC DF ☑ ☑ =1 EB CD FA AE EB-2√5, BC=8, CD=3+) = 2√√√5 8 DF 2√58 ☑ - 2√√5 3 FA = 1 DF 3 よって B FA 8 2√5 E 2√5 5 3
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自学 © Akagi (3) 前半 直径に対する円周角は90度だから,∠ACB = 90度。 直角三角形 ABC で三平方の定理により AC=√AB2-BC2=√(4√5)2-82=4 よって、 AG = x とおくと, CG=4-x と表せる。 △ABC と点 E, D, G でチェバの定理により AE BD CG EB DC × =1 GA 2√5 5 2√5×3 (4-x) = 1 x = 2√5 ∴.x = AG 52 B 2√5 5 E E 3 xG4 +x 14
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自学 © Akagi (3) ◆ 後半 E 8 A 4 ③ ③ 3 C B △ADCの面積は 3×4÷2=6 △CDF と△CAF は, 高さが等しいので底辺 DF: AFの比が面積の比 になるから 3 18 △ CDF = 6× 11 11 18 48 よって, △CAF = 6. ・ア 11 11 △FCG と△FAG も, 高さが等しいので底辺 CG : GA の比が面積の比 になるから 48 3 18 △ FCG = × = ① 11 8 11 したがって, 四角形 DCGF の面積は,ア+イより 18 18 36 + = 11 11 11
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