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(1)3回目にカードを取り出したとき、それ以前の2回の試行による数の書き換えは次の2通りの場合がある。
①2回の試行でそれぞれ異なるカードを引いた場合
→異なる2枚のカードに書かれた数が2倍される。
②2回とも同じカードを引いた場合
→ある1枚のカードに書かれた数が4倍される。
もともと箱の中にあるカードに書かれた数は1,2,4であるから、それらの2倍は2,4,8、4倍は4,8,16となる。したがって、16となる可能性があるのは②の場合。つまり、最初の2回とも、もともと4が書かれていたカードを引き、3回目もそのカードを引く場合である。確率は、
(1/3)×(1/3)×(1/3)=1/27
(2)2回目にカードを取り出したとき、カードの書き換えは、次の3通りの場合がある。
①1→2
箱の中のカードは{2,2,4}
②2→4
箱の中のカードは{1,4,4}
③4→8
箱の中のカードは{1,2,8}
2が書かれたカードを引く可能性があるのは①または③の場合。
①の場合、最初に1を引き、2回目は2枚の2のうちどちらかを引けばいいから、確率は
(1/3)×(2/3)=2/9
③の場合、最初に4を引き、2回目は2を引けばいいから、確率は
(1/3)×(1/3)=1/9
したがって、2回目に引いたカードに2が書かれている確率は
2/9+1/9=3/9=1/3
(3)3回目に取り出したカードの数が2であるのは、次の2つの場合がある。
①最初に1が書かれていたカードが3回目までに1回だけ取り出されて2倍になったものを取り出した場合。
[i]1回目に1が取り出されて2倍になり、2回目は他のカードが取り出され、3回目で1が2倍になったカードを取り出す確率
(1/3)×(2/3)×(1/3)=2/27
[ii]1回目は他、2回目は"1"、3回目は1が2倍になったものを取り出す確率
(2/3)×(1/3)×(1/3)=2/27
②最初に2が書かれていたカードが1回も取り出されずに2のままだったものを取り出す場合。
1回目も2回目も2以外のカードを取り出し、3回目に2のカードを取り出す確率
(2/3)×(2/3)×(1/3)=4/27
したがって、求める確率は
2/27+2/27+4/27=8/27
(4),(5)条件付確率
Aの条件下でBがおこる確率
PA(B)=P(A∩B)/P(A)
理解できました。ありがとうございます。
いつも分かりやすく教えて下さるおかげで、この前の模試の数学が今までで1番良かったです。本当に助かっています。これからもよろしくお願いします。
それは嬉しいですね！もちろんこれからも応援しますよ！
ありがとうございます！頑張ります！
1回目に取り出したカードに1が書かれている事象をA, 3回目に取り出したカードに書かれている数字が2である事象をBとすると、
P(A)=1/3
P(B)=8/27
また、1回目に取り出したカードに1が書かれていて、かつ3回目に取り出したカードに2が書かれている事象、すなわちA∩Bは
1回目に1を取り出した後、箱の中は
{2,2,4}であるから、
①2回目に2を取り出した場合、
{2,4,4}となり、3回目のとき、箱の中に2は1つしかない。
すなわち1回目に1、2回目に2、3回目に2を取り出す確率は
(1/3)×(2/3)×(1/3)=2/27
②2回目に4を取り出した場合、
3回目のときの箱の中は{2,2,8}となり、2が2枚あるので、
1回目に1、2回目に4、3回目に2を取り出す確率は、
(1/3)×(1/3)×(2/3)=2/27
したがって、1回目に1を取り出し、かつ3回目に2を取り出す確率は
P(A∩B)=2/27+2/27=4/27
(4)
以上より、A(1回目に1)の条件下でB(3回目に2)が起こる条件付き確率は
PA(B)=P(A∩B)/P(A)=(4/27)/(1/3)=4/9
(5)
(4)とは逆の条件付き確率
B(3回目2)の条件下でA(1回目1)が起こる条件付き確率
PB(A)=P(B∩A)/P(B)=(4/27)/(8/27)=1/2